Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

О СУЩЕСВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Колпаков И.Ю. 1
1 ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
В работе найдены условия разрешимости периодической краевой задачи для одного дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Построение математических моделей некоторых реальных процессов приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и в частности к задаче, рассматриваемой в работе. Поэтому исследование таких задач является актуальным. С помощью метода явной линеаризации исходная задача сводится к квазилинейной краевой задаче, для доказательства существования решения которой применяется теорема о неявном операторе. В работе доказывается существование решения рассматриваемой задачи на шаре радиуса R с центром в нуле пространства непрерывно дифференцируемых функций. Результаты работы могут быть использованы при исследовании краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной.
периодическая краевая задача
существование решения
теорема о неявном операторе
1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. – Челябинск : Изд-во ЧелГУ, 1994. – 93 с.
2. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / пер. с англ. - М., 1968. - 184 с.
3. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // УМН. - 1977. - Т. 32, № 4. - С. 3-54.
4. Диблик Й. Существование и единственность решения начальной краевой задачи для дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных // Деп. в ВИНИТИ. – 1984. - № 908-84.
5. Дмитриенко В.Т. Двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. - Куйбышев, 1982. - С. 47-58.
6. Елисеенко М.Н. О периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, не разрешенных относительно производных // Дифференциальные уравнения. – 1985. - Т. 21, № 9. - С. 1618-1621.
7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М. : Наука, 1965. - 752 с.
8. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. – Пермь, 2002. - С. 21-27.
9. Просенюк Л.Г. Существование и асимптотика О-решений дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Украинский математический журнал. - 1987. - Т. 39, № 6. - С. 796-799.
10. Щеглова А.А. Метод Ньютона для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. - 1998. - Т. 39, № 6. - С. 1428-1434.

Рассмотрим периодическую краевую задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной

(1)

где функции и предполагается, что функция непрерывна, функция удовлетворяет условию Каратеодори.

Пусть - пространство непрерывных на отрезке функций, – пространство измеримых ограниченных в существенном на отрезке функций, - пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке функций с нормой

.

Под решением понимается такой элемент пространства , который почти всюду удовлетворяет уравнению и краевому условию задачи (1).

В работе доказывается существование решения задачи (1) в шаре радиуса с центром в точке пространства . С помощью метода явной линеаризации задача (1) сводится к квазилинейной краевой задаче, для доказательства существования решения которой применяется теорема из работы [8].

Будем рассматривать задачу (1) в предположении, что существует такая функция , удовлетворяющая условиям:

- для каждого фиксированного на искомом шаре с центром в точке пространства выполняется неравенство: (данное условие предполагает, что функция должна удовлетворять условию );

- оператор , определенный равенством: ,

является вполне непрерывным оператором.

Некоторые математические модели реальных процессов приводят к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и в частности к задаче (1). Обычно при исследовании нелинейных задач, в том числе и задачи (1), используется явная или неявная линеаризация. В частности, в работах [4; 6; 9] используется редукция нелинейной задачи к некоторой вспомогательной квазилинейной, к которой применяются известные схемы исследования на разрешимость квазилинейных или резонансных краевых задач. К числу методов, использующих неявную линеаризацию нелинейных задач, можно отнести метод Ньютона-Канторовича, метод применения теорем о неявной функции, методы теории нелинейных фредгольмовых операторов. В этом случае нелинейный оператор аппроксимируется своей производной [2; 3; 5; 10].

Как уже было указано ранее, в работе используется первый подход. Отметим, что в отличие от ранее цитируемых работ в настоящей работе предполагается, что нелинейную задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной, можно записать в виде (1) и что существует такая функция , для которой выполняется неравенство . Помимо этого, в работе используется подход, предложенный автором [1] для доказательства разрешимости квазилинейных краевых задач в случае резонанса.

Обозначим через , при этом будем предполагать, что функция на отрезке . Существование такой функции позволяет задачу (1) переписать в виде

(2)

Обозначим через и пространства и соответственно. Тогда задачу (2) можно записать в виде операторного уравнения

(2*)

в пространстве , где операторы , определены равенствами

, ,

где . Отметим, что краевая задача (2) является резонансной, так как оператор не обратим.

Обозначим ядро и образ линейного оператора через и соответственно. Непосредственная проверка показывает, что ядро оператора имеет вид:

.

Оператор является нетеровым оператором. Пространство представимо в виде: , где подпространство . Тогда элемент представим в виде , где и .

Пусть проектор на , определенный равенством , а проектор на , . Тогда соответствующий дополнительный проектор имеет вид , откуда образ оператора :

.

Дадим определение обобщенно обратного оператора [1]: оператор называется обобщенно обратным к линейному оператору , ассоциированным с проектором , если справедливы равенства:

1) для любого ;

2) для любого ;

3) для любого .

Условимся в дальнейшем обобщенно обратный к оператор записывать просто .

Из нетеровости оператора следует, что существует обобщенно обратный к оператор , определяемый по формуле: .

Так как оператор не обратим (), то нужно доказать существование таких множества и непрерывного оператора , что оператор переводит это множество в образ оператора . Для этого применяется теорема о неявном операторе к операторному уравнению:

. (3)

Замечание. Следуя [7, с. 670], будем отождествлять пространства и с согласованными нормами: (то есть , ). Поэтому далее при необходимости прямую топологическую сумму будем рассматривать как прямое произведение с изометричной нормой, при этом значение оператора на элементе будем записывать в виде .

Рассмотрим производную оператора в некоторой точке как оператор вида:

,

тогда оператор можно представить в виде суммы операторов

,

где и .

Для решения вопроса о разрешимости уравнения (2*), а, следовательно, и задачи (1), воспользуемся теоремой из [8].

Теорема 1. Пусть оператор - нетеров, - обобщенно обратный к оператор, произведение вполне непрерывно, оператор непрерывен и имеет частную производную , непрерывную в нуле (в дальнейшем положим ). Пусть далее , оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2) , ;

3) , ;

4) ;

5) ;

6) , где .

Тогда существует решение уравнения .

 

Будем проверять условия теоремы 1 для операторного уравнения (2*) последовательно, с приведением требуемых при этом ограничений.

1. Покажем, что оператор является непрерывным. Поскольку функция , а функция представляет разность непрерывной функции и функции , удовлетворяющей условию Каратеодори, то оператор - непрерывен.

2. Перейдем к условию . Запишем уравнение (3) для операторного уравнения (2*), для этого определим вид оператора на элементе :

.

Откуда и, следовательно, уравнение (3) запишется в виде:

.

Согласно теореме 1 должно выполняться условие , с учетом того, что условие предполагает выполнение равенства , получим: .

Тогда, поскольку условие означает, что , получим условие:

.

3. Далее определим вид оператора . Поскольку у оператора элемент содержит только функция , то

,

где означает частную производную функции по второму аргументу, действующую из в . Тогда обратный оператор для оператора имеет вид:

.

Таким образом, оценка его нормы определяется константой:

.

4. Найдем константу из условия , в предположении, что частная производная функции по удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой : :

.

Таким образом, константа , где .

5. Далее найдем константу из условия , в предположении, что функция удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой : , и с учетом условия :

 

.

Таким образом, константа , где .

6. Найдем теперь оценку нормы , в предположении, что функция удовлетворяет условию: , и с учетом условия :

Таким образом, константы , где .

Замечание. Для доказательства полной непрерывности произведения рассмотрим распространение оператора на пространство , то есть будем считать, что оператор действует из пространства в . Тогда оператор вполне непрерывен, а, следовательно, произведение также вполне непрерывно. Нетрудно показать, что .

Докажем существование решения уравнения на подпространстве , содержащемся в пространстве . Тогда, вследствие непрерывности оператора , правая часть данного уравнения принадлежит и, следовательно, само решение также принадлежит . Это доказывает существование решения исходной задачи (1) в пространстве .

7. Проверим выполнение условия . С учетом и равенства получим следующее условие: .

8. Наконец остается проверить условие , где . Для этого подставим найденные выше константы в левую часть неравенства:

.

Таким образом, объединяя найденные ранее оценки, получим условия разрешимости краевой задачи (1).

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям Каратеодори и вместе со своей частной производной по удовлетворяют условию Липшица по второму аргументу с константами и для всех , то есть

,

.

Пусть далее непрерывна в точке , , функция непрерывна и существует такая функция , удовлетворяющая условиям:

- для каждого фиксированного на искомом шаре с центром в точке пространства выполняется неравенство: ;

- оператор , определенный равенством: ,

является вполне непрерывным оператором.

Тогда если функция и выполнены условия:

1) ;

2) ;

3)

4) , где , , , , , ,

то существует решение задачи (1) на шаре с радиусом .

Рецензенты:

Абдуллаев А.Р., д.ф.-м.н., профессор кафедры высшей математики Пермского национального исследовательского политехнического университета, г. Пермь.

Аристов С.Н., д.ф.-м.н., старший научный сотрудник, Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, г. Пермь.


Библиографическая ссылка

Колпаков И.Ю. О СУЩЕСВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=13237 (дата обращения: 17.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074