Текстовые задачи очень важны в школьном математическом образовании, и не только в начальном. Это подчеркивали многие российские математики-методисты, в частности Л.Д. Кудрявцев, который отмечал положительное влияние решения текстовых задач на развитие логического мышления учащихся, на построение ими цепочек правильных рассуждений и получение верных выводов [1]. Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы – один из важных разделов дисциплины «Математика» у студентов, обучающихся по направлению 44.03.01 Педагогическое образование, профиль Начальное образование, и студентам следует овладеть умением решать задачи базового цикла и повышенной трудности, чтобы развивать детей, имеющих склонность к математике, интересующихся математикой, с желанием проводящих свободное время за решением математических задач. Однако многие студенты испытывают значительные трудности при самостоятельном овладении теоретическими знаниями и практическими навыками решения текстовых задач даже из курса математики начальной школы, в частности по комбинаторике, на движение и на части. Возможно, это связано с недостаточно высокой подготовкой учащихся в стенах средней общеобразовательной школы.
Решению данной проблемы способствует организация работы студентов по решению задач с помощью рабочей тетради, которая благоприятствует более эффективному усвоению студентами теоретических знаний и формированию практических навыков по решению текстовых задач, поскольку, по словам В.В. Давыдова [2], рабочая тетрадь является одним из средств управления мыслительной деятельностью.
Поэтому (и по другим, указанным ниже) причинам в настоящее время имеется очень много рабочих тетрадей по математике как для начальной (Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и др.), так и для основной и средней школы (М.К. Потапова, А.В. Шевкина; А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира; Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К.И. Нешкова и др.). В последние годы стали создаваться рабочие тетради по математике для студентов разных направлений подготовки (Г.В. Заниной – для направления 38.02.04 Коммерция, Т.Г. Кузиной – 38.00.00 Экономика и управление, Л.В. Ланиной – для студентов-иностранцев медицинских вузов и др.).
Кроме того что рабочая тетрадь является одним из средств управления мыслительной деятельностью студентов, она выполняет еще несколько функций. Рабочая тетрадь является: учебным пособием, способствующим самостоятельной работе студента при изучении конкретной учебной дисциплины [3]; средством обучения; средством преподавания и средством учения [4]. Использование рабочей тетради в учебном процессе улучшает качество образования, повышает эффективность учебного процесса на основе его индивидуализации [5].
Выделим преимущественные дидактические возможности рабочей тетради: оперативное предъявление студентам заданий для выполнения упражнений, самостоятельных и контрольных работ; наличие необходимых сведений, рекомендаций и указаний для выполнения заданий, в некоторых случаях – ответов на задачи; индивидуализация учебного процесса [6].
Рабочая тетрадь «Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы» подготовлена нами в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования по педагогическому направлению подготовки, профиль Начальное образование.
В рабочей тетради рассмотрены основные методы решения текстовых задач, изучаемых в курсе «Математика». При изложении каждой темы приводится разбор типовых задач и задач для самостоятельного решения студентами с подсказками разных уровней. Уровень подсказок определяется уровнем подготовки студентов. Кроме задач с подсказками разных уровней, приведены и задачи без подсказок для самостоятельного решения студентами, целью которых является закрепление усвоенных методов решения. Каждый раздел заканчивается темой «Систематизация и обобщение знаний», в которой приведены задачи на обобщение знаний и умений по решению задач данного раздела.
Рабочая тетрадь может быть использована как во время самостоятельной подготовки студентов, так и во время контроля усвоения знаний студентов. Самостоятельная работа студентов направления 44.03.01 Педагогическое образование, профиль Начальное образование по дисциплине «Математика» предусмотрена Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования, учебным планом и рабочей программой дисциплины. В рабочую тетрадь «Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы» включены темы по следующим разделам: «Комбинаторные задачи», «Задачи на части», «Задачи на движение». Учебный материал по каждой теме разделен на два блока: «Повторяем теорию», «Решаем задачи». Блок «Повторяем теорию» содержит задания на актуализацию теоретического материала темы, являющегося ориентировочной основой для выполнения заданий блока «Решаем задачи». Блок «Решаем задачи» представлен разбором типовых задач и задач для самостоятельной работы студентов с подсказками разных уровней, выполнение которых формирует практические навыки решения типовых задач по изучаемой теме. Задания представлены таким образом, что при их последовательном выполнении доля самостоятельной работы студентов увеличивается. В конце каждого раздела имеется тема «Систематизация и обобщение знаний», в которой представлены задачи по всем темам раздела для самостоятельной работы, позволяющие осуществить оперативную обратную связь, способствующие формированию самоконтроля усвоения знаний, рефлексии студентов. Использование рабочей тетради может осуществляться разными способами: на семинарских занятиях при изучении новой темы, при выполнении студентами домашнего задания по изучаемой теме; при самостоятельной подготовке к контрольным работам, зачетам, экзаменам [7].
Цель исследования: показать, что использование рабочей тетради «Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы» способствует формированию у студентов практических умений решать текстовые задачи по различным разделам математического курса факультета начального образования.
Материалы и методы исследования. Достижение поставленных целей осуществлялось на основе анализа и обобщения научно-педагогической литературы, соответствующей проблеме проводимого исследования, собственного педагогического опыта работы в вузе с использованием современных педагогических технологий. Проведен эксперимент по выявлению влияния использования в учебном процессе рабочей тетради по математике на усвоение теоретических знаний и практических навыков студентов педагогического факультета по профилю Начальное образование.
Результаты исследования и их обсуждение. В качестве примера рассмотрим один из разделов рабочей тетради «Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы» – «Комбинаторика», а именно тему «Правило суммы». Согласно программе, студентам по этой теме необходимо изучить вопросы: правило суммы, формула включений и исключений, задача Эратосфена. В соответствии с дидактическими принципами задачи в приведенной совокупности усложняются по мере удаления от ее начала, а число подсказок сокращается, изменяется и их вид. Кроме того, задачи носят практико-ориентированный характер, имеют разнообразную сюжетную основу, опираются на субъектный опыт студентов и описывают реальные ситуации.
Приведем представление этой темы в рабочей тетради.
Тема 1. Задачи на правило суммы
Повторяем теорию: А – множество, n(А) – его численность.
Закончи утверждения: Правило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют___________________. Если объект а можно выбрать m способами, а объект b способами (не такими, как а, т.е. выборы несовместны), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить_________________________. Если k совпадений способов выбора объектов, то выбор «либо а, либо b» можно осуществить_________________________. Продолжи формулу включений и исключений для двух множеств: n(А
) = n(A) + n(В)_____________________________________. Продолжи формулу включений и исключений для трех множеств: n (А
) = n(А) + n(B)____________________________________________________.
Решаем представленные ниже задачи.
Задача 1. В книжном шкафу стоят 15 книг по комбинаторике, 9 – по теории вероятностей, 11 сборников занимательных задач. Каким числом способов можно выбрать одну книгу?
Решение
Ответ: 35.
Это задача – утешительная, на непосредственное применение правила суммы в случае, когда отсутствуют совпадения способов выбора книги (выборы несовместны). Студенты решают ее самостоятельно и получают приведенный ответ.
Задача 2. Из 100 учащихся, изучающих английский и немецкий языки, 85 изучают английский, 45 – немецкий. Сколько учащихся изучают оба языка?
Решение
А – множество учащихся, изучающих английский.
В – множество учащихся, изучающих немецкий.
А∩В – множество учащихся, изучающих английский и немецкий.
А
– множество учащихся, изучающих английский или немецкий.
n(A) = 85
n(B) = 45
n(A
B) = 100
n(A∩B) = ?
n(A∩B) = n(A) + n(B) - …..
Ответ:
В данной задаче студентам предлагается следующая подсказка: выделены все данные и искомые, представлена незаконченная формула, при подстановке в которую числовых данных студенты находят ответ на вопрос задачи.
Задача 3. Из 40 учащихся класса 32 занимаются в математическом кружке, 21 – в литературном, а 15 – в обоих кружках. Сколько учащихся не занимаются ни в том ни в другом кружке?
Решение
M – множество учащихся, занимающихся математикой.
Л – множество учащихся, занимающихся литературой.
К – множество детей в классе.
М∩Л – множество учащихся, занимающихся в обоих кружках.
К\(МЛ) – множество учащихся, не занимающихся ни в одном кружке.
Ответ:
В задаче 3 в качестве подсказки предлагается только краткая запись условия задачи, не указывается формула для решения задачи.
Задача 4. Из 80 школьников 40 играют в футбол, 50 – в волейбол, а 27 – в обе игры. Сколько школьников играют хотя бы в одну игру? Сколько школьников не играют ни в одну игру?
Решение
А – множество всех школьников.
В – множество школьников, играющих в футбол.
М – множество школьников, играющих в волейбол.
МВ – множество …………………………………………..
М∩В – множество …………………………………………..
Ответ:
Задача 5. Из 100 студентов второго курса 80 сдали математику, 60 сдали математику и педагогику. 5 студентов не сдали ни математику, ни педагогику. Сколько студентов сдали педагогику? Сколько студентов не сдали математику?
Решение.
А – множество студентов второго курса.
М – множество студентов, сдавших математику.
Р – множество студентов, сдавших педагогику.
К – множество студентов, не сдавших ни математику, ни педагогику.
М∩Р – множество ……………………………
МР – множество ……………………………….
Ответ:
В задачах 4 и 5 в качестве подсказки выделены данные задачи, но не все. Доля самостоятельности студентов возрастает с каждой последующей задачей.
Задача 6. Сколько чисел содержится в множестве Р, если известно, что среди них: 100 чисел, кратных 2; 115 чисел, кратных 3; 120 чисел, кратных 5; 45 чисел, кратных 6; 38 чисел, кратных 10; 50 чисел, кратных 15; 20 чисел, кратных 30?
Решение.
D – множество чисел, кратных 2.
С – множество чисел, кратных 3.
Е – множество чисел, кратных 5.
D∩С – множество чисел, кратных 6 (т.е. кратных 2 и 3 одновременно).
D∩E – множество чисел, кратных 10 (кратных 2 и 5 одновременно).
С∩Е – множество чисел, кратных 15 (кратных 3 и 5 одновременно).
Р = DCE
n (DCE) =n(D) + n(E) + n(C) – n (D∩E) – n(D∩C) – n(C∩E) + n (C∩E∩D)
Ответ:
В задаче 6 в качестве подсказки студентам предлагается формула включений и исключений для трех множеств, а также выделены все данные задачи.
Задача 7. Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5? Тот же вопрос для чисел от 1 до 1000.
Решение
Ответ:
Эта задача может быть решена двумя способами: с помощью решета Эратосфена или по правилу включений и исключений. Студенты видят, что решение вторым способом быстрее приводит к результату. К этой задаче дается подсказка: чтобы найти среди чисел от 1 до N количество чисел, делящихся на n, надо взять целую часть частного от деления N на n.
Задача 8. Из 70 пятиклассников в математическом кружке занимаются 51 человек, в литературном – 40 человек, в историческом – 22 человека, в трех кружках занимаются 6 человек. 32 человека занимаются в математическом и литературном, 11 – в математическом и историческом, 8 – в литературном и историческом кружках. Сколько школьников не занимаются ни в одном кружке?
Решение
Ответ:
В задаче 8 подсказки студентам не предлагаются. Эту задачу студенты решают самостоятельно, без подсказки.
В конце темы следует раздел «Систематизация и обобщение знаний», где студентам предлагаются задачи для самостоятельного решения. Приведем примеры таких задач (некоторые из них взяты из [8]).
1. Из 40 студентов группы 35 успешно сдали экзамен по математике, а 37 – по русскому языку. 2 студента не сдали экзамен по обоим предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?
2. Из 100 студентов 28 изучают французский язык, 30 изучают немецкий язык, 42 изучают английский язык, 8 человек изучают французский и немецкий языки, 10 изучают английский и французский языки, 5 изучают немецкий и английский языки. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов не изучают ни одного языка? Сколько студентов изучают только один язык?
3. В классе 30 школьников, в том числе 17 мальчиков. 20 учатся на «хорошо» и «отлично», в том числе 10 мальчиков. Спортом занимаются 19 учеников, в том числе 12 мальчиков, и 11 учатся на «хорошо» и «отлично». 9 мальчиков учатся на «хорошо» и «отлично» и занимаются спортом. Такие сведения дал староста класса. Учитель сказал, что он ошибся. Как учитель это узнал?
4. В магазине имеются 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели. Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине?
5. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет спортлото или автомотолотереи?
6. В отряде 5 разведчиков, 4 связиста и 2 санитара. Сколькими способами можно выбрать одного солдата так, чтобы он был разведчиком или санитаром?
7. По итогам экзаменационной сессии из 35 студентов отличную отметку по педагогике получили 14 студентов, по психологии – 15, по культурологии – 18, по педагогике и психологии – 7, по педагогике и культурологии – 9, по психологии и культурологии – 6, по всем трем предметам – 4. Сколько студентов получили хотя бы по одной отличной отметке?
8. В течение 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, 2 ветреных и холодных, а 1 день был и ветреным, и дождливым, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода?
В эксперименте по выявлению уровня влияния использования рабочей тетради в учебном процессе на усвоение теоретических знаний и практических навыков студентов принимали участие студенты двух групп направления 44.03.01 Педагогическое образование, профиль Начальное образование, в течение 2016–2021 учебных годов. В контрольной группе (130 человек) обучение по разделу «Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы» проводилось без применения рабочей тетради, а в экспериментальной группе (150 человек) – с использованием рабочей тетради. Студентами контрольной группы решались те же самые текстовые задачи, что и студентами экспериментальной группы, только без использования рабочей тетради. Раздел «Решение текстовых задач в курсе математики начальной школы» изучается студентами в 1-м семестре, на него отводится 16 часов как аудиторной, так и самостоятельной работы. Для оценки эффективности использования рабочей тетради были выделены основные умения, определяющие уровень сформированности знаний и практических навыков студентов: 1) умение анализировать текстовую задачу; 2) умение перевести текст задачи на знаково-символический язык; 3) умение строить вспомогательные модели к тестовой задаче; 4) умение отобрать теоретический материал, необходимый для решения задачи; 5) умение составить план решения; 6) умение выполнить решение; 7) умение перевести информацию со знаково-символического языка модели на язык текстовой задачи. Приведем результаты эксперимента в таблице.
Результаты эксперимента
|
Группа |
Число студентов |
Всего умений |
Воспроизведено умений |
Не воспроизведено умений |
|
Контрольная |
130 |
910 |
834 |
76 |
|
Экспериментальная |
150 |
1050 |
1017 |
33 |
Из таблицы видно, что наблюдается тенденция к повышению качества знаний и практических навыков студентов в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой. Достоверность полученного вывода составила около 95%.
Заключение. Применение разработанной нами рабочей тетради способствует формированию умений студентов – будущих учителей начальных классов решать текстовые задачи разного типа и из разных разделов математики, что подтвердил проведенный нами эксперимент.
Таким образом, организация работы на аудиторных занятиях и самостоятельной работы студентов с помощью рассмотренной рабочей тетради способствует более прочному усвоению знаний, выработке умений и навыков по решению текстовых задач, осуществлению самоконтроля усвоения знаний студентами.