При разработке мер по снижению шума круглых пил важно знать соотношение между шумом, возникающим от вибрации пильного диска, и шумом от упругих деформаций перерезанных волокон древесины в зоне резания.

Цель настоящей работы – дать теоретический анализ излучения звука (шума) дисковой пилой под действием сил резания.

Диск пилы представляет собой однородную изотропную круглую пластину, ограниченную двумя концентрическими окружностями с радиусами r0 и r1.

Уровень звуковой мощности, излучаемый источником с заданным распределением колебательной скорости, записывается [2]:

, дБ, (1)

где – уровень звуковой мощности (относительно 10-12 Вт), дБ;

– средний по площади пилы уровень колебательной скорости (относительно 5*10-8 м/с);

– площадь поверхности излучения (диска пилы), м2;

– коэффициент излучения.

Основной вклад в формирование звукового поля вносят изгибные колебания пилы.

Уравнение движения диска пилы в цилиндрических координатах под действием внешней силы запишется [1; 4]:

, (2)

где – цилиндрическая жесткость пилы на изгиб;

– модуль упругости материала;

– толщина диска пилы;

– коэффициент Пуассона;

– мнимая единица;

– коэффициент потерь;

– прогиб срединной плоскости пилы;

– вес единицы площади диска пилы;

– текущая радиальная и угловая координаты точки диска пилы;

– интенсивность внешней нагрузки;

– двойной оператор Лапласа в полярных координатах .

Граничные условия на внутреннем радиусе диска пилы (в месте крепления его зажимными шайбами) при r = r0 можно представить в виде жесткого закрепления внутреннего контура: ;.

Граничные условия на внешнем контуре в процессе пиления будут постоянно меняться от свободных колебаний (как происходит при холостом ходе пилы) до шарнирно-опертого контура и даже до жестко закрепленного контура.

Эти граничные условия можно представить в виде:

, (3)

Решение уравнения (2) будем искать в виде разложения в ряд по фундаментальным функциям, соответствующим формам собственных колебаний диска пилы.

Представим решение однородного уравнения

, (4)

в виде:

,

где – частота собственных колебаний пилы;
и – неизвестные функции только ;

и – постоянные.

Внесем в уравнение (4). Получим:

. (5)

Обозначим:

.

Получим систему двух уравнений:

(6) (7)

где

,

где – число узловых диаметров.

Решая уравнение (6) и удовлетворяя граничным условиям (3), найдем:

, (8)

где ,

– постоянная величина.

Общее решение уравнения (7) запишется:

, (9)

где , – функции Бесселя m-го порядка первого и второго рода соответственно;

, – функции Бесселя мнимого аргумента;

– число условных окружностей.

Постоянные , , , и для данного m определяются из граничных условий. Удовлетворение граничным условиям приводит к частотному уравнению, из которого для заданного числа узловых диаметров m определяется бесчисленное множество корней .

Общее решение однородного уравнения (4) запишется в виде

. (10)

Постоянные и определяются из начальных условий. Перейдем теперь к интегрированию основного дифференциального уравнения (2). Нагрузку, действующую на диск пилы в первом приближении, можно аппроксимировать действием периодических импульсов с периодом Т0 (рис.1): ,

где , (11)

– число оборотов диска пилы в минуту;

– число зубьев пилы.

Рис. 1. График изменения нагрузки во времени

Для получения условия ортогональности в уравнении (7) сделаем замену переменных (2):

, . (12)

Это дает:

. (13)

Пусть и являются решениями уравнения (13) при данном числе узловых диаметров. Тогда можно записать:

и

.

Умножив первое равенство на , второе на , вычтя из первого второе и интегрируя по x в пределах от до , получим:

. (14)

Возвращаясь к переменной r и функции R(r), с учетом граничных условий найдем:

.

Это есть условие ортогональности функций . Разделим (14) на и перейдем к пределу при . Тогда получим с учетом граничных условий:

.

Решение уравнения (2) будем искать в виде:

. (15)

Разложим нагрузку в двойной ряд по функциям и . Ортогональность этих функций доказана, поэтому такое разложение возможно:

.

Подстановка этого ряда в уравнение (2) дает нам следующее уравнение для нахождения :

, (16)

где

;

.

При нагрузке в виде импульсов целесообразно применение операционного метода решения [2; 3]. При помощи единичной функции

график нагрузки записывается в виде:

.

Поэтому:

. ,

где и – координаты точки приложения импульсов.

Пусть начальные условия будут:

.

Изображение уравнения (16) запишется в виде:

, (17)

где – оператор Лапласа.

Нас интересует не полное решение уравнения (16), а лишь его периодическая часть, для которой и соответствующее установившимся чисто вынужденным колебаниям. Для отыскания периодического решения нужно так определить , чтобы начальная функция обращалась тождественно в нуль при , где:

;

Отсюда имеем:

; .

Подставляя значение и в уравнение (17) и находя начальную функцию v(t) при 0< t<T, получим искомое периодическое решение:

.

Выражение для скоростей чисто вынужденных колебаний пилы под действием периодических импульсов запишется:

, (18)

Средние значения квадратов абсолютных величин скоростей смещений диска пилы за промежуток времени между двумя импульсами сил при частоте колебаний подставляем в формулу (1). Избавляясь от величин и способом В.И. Заборова [2], заменив массу единицы площади произведением (- плотность материала диска пилы), получим величину уровня звуковой мощности, излучаемой пилой на частоте :

, дБ. (19)

Хотя в замкнутом виде получить абсолютные значения излучаемой звуковой мощности пилой на частоте fмn из-за сложности математического аппарата по определению колебательной скорости не удалось, анализ уравнения (19) позволяет сделать некоторые важные выводы.

Как видно из формулы (19), для двух пил с одинаковыми размерами в плане основное значение для излучения шума пилой имеет толщина пилы. Увеличение толщины пильного диска в 2 раза дает снижение уровня шума примерно на 9 дБ.

Снижение числа зубьев пилы в 2 раза приводит к снижению уровня шума на 3 дБ. Такого же снижения уровня можно добиться увеличением коэффициента потерь в 2 раза и снижением скорости резания.

Влияние площади поверхности пилы на излучаемую звуковую мощность подтверждает полученную ранее зависимость в работе [5]: изменение площади в 2 раза дает изменение уровня звука на 3 дБ.

Слагаемое в формуле (19) определяет механизм перехода вибраций диска в акустическую энергию шума.

Влияние этого слагаемого требует дополнительного самостоятельного исследования и составляет предмет следующей статьи.

Рецензенты:

Санников Александр Александрович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Машины и оборудование целлюлозно-бумажного производства» ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г. Екатеринбург.

Пашков Валентин Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры «Станки и инструменты» ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г. Екатеринбург.