Введение

Ультразвуковая окорка – это сложный технологический процесс, включающий в себя кавитационный эффект, разрушающий связи между элементами коры, звукокапиллярный эффект и гидродинамические возмущения. Для оценки качества ультразвуковой окорки лесоматериалов, исследования данного процесса осуществляется дифференцированным методом, каждый процесс которого описывается раздельно.

Цель исследования

Целью работы является оценка влияния гидродинамических возмущений, возникающих в жидкой среде, на элементы коры при ультразвуковой окорке лесоматериалов.

Материалы и методы исследования

Задачи построения течения с образованием гравитационных и капиллярных волн на свободной поверхности (поверхности каверны) не имеют принципиальной разницы с задачами для невесомой жидкости. В обоих случаях требуется построить течение, частью ограниченное поверхностями заданной геометрии, а частью – свободными поверхностями, давление на которых постоянно. Форма свободных поверхностей (границ) заранее неизвестна, и определяется в ходе решения задачи из условия постоянства давления [1–5].

Если учесть силы тяжести в формуле Бернулли, то окажется, что скорость на свободной границе не постоянна, а зависит от ординат свободной поверхности:

, (1)

где – давление в каверне; g – ускорение свободного падения; – ордината горизонтальной линии, на которой определяется величина в невозмущенном потоке. В формуле (1) скорость на границе каверны, как и ранее, выражена в безразмерном виде, т. е. отнесена к.

Если свободная граница искривлена, как у естественной формы коры, то на ней возникнут ка­пиллярные силы, величина которых пропорциональна кривизне. Они направлены внутрь каверны, если её граница обращена вы­пуклостью в сторону жидкости, и наоборот. Обусловленная ка­пиллярностью величина давления:

, (2)

где – кривизна поверхности каверны.

Условия (1) и (2) нетрудно учесть при составлении ин­тегральных уравнений кавитационной задачи, которые, естественно, окажутся сложнее уравнений невесомой жидкости. Кроме того здесь возникнут дополнительные трудности в связи с отсут­ствием гладких решений в окрестности точек сопряжения свободных границ с твердыми поверхностями [5].

При формировании кавитационного течения для разрушения слоёв коры и гидродинамических возмущений на свободной поверхности жидкости образуются гравитационные волны.

Рассмотрим плоское потенциальное установившееся обтекание поступательным потоком безграничной несжимаемой идеальной жидкости удлиненного контура, изображенного на рис. 1, имитирующей окариваемый лесоматериал в технологическом желобе.

Рис. 1. Схема обтекания удлиненного контура

Часть этого контура ABCDEF соответствует сечению твердых стенок, a AF – сечению свободной поверхности, над которой внутри замкнутого объема, ограниченного твердыми стенками и этой поверхностью, заключен под определенным давлением газ. Такое течение представляет собою типичный пример так называемого искусственного кавитационного течения.

Свободная поверхность, вообще говоря, будет возмущена вследствие влияния на нее обтекания оконечностейСВ и DE. При этом порядок скоростей возмущения на достаточном удалении от указанных оконечностей будет таким же, как от плоских источника и стока, расположенных вблизи СВ и DE, интенсивность которых пропорциональна произведению ширины контура h на модуль скорости невозмущенного потока. Другой причиной возмущений может быть давление газа внутри упомянутого выше объема, заключенного между твердыми стенками и свободной поверхностью (поверхностью коры), если оно будет отличаться от статического давления в невозмущенном потоке на уровне оси х (см. рис. 1).

Обтекание контура коры окариваемого лесоматериала заменяется обтеканием вихрей, распределенных непрерывным образом на твердых стенках и свободной поверхности. Поскольку контур замкнут, величина вихревой интенсивности в его произвольной точке равна модулю скорости в этой точке. Используя условие непроницаемости твердых стенок и свободной поверхности, заключающееся во взаимной компенсации нормальных составляющих скоростей в любой точке контура, обусловленных индукцией вихрей, невозмущенным набегающим потоком и наличием в потоке каких-либо источников возмущений, можно написать интегральное уравнение, дающее связь между формой контура и интенсивностью вихревого:

(1а)

где – угол между направлением указанной касательной к контуру и отрезком r (см. рис. 1); r – расстояние от точки S1, в которой расположен вихрьds1, до произвольной точки s, лежащей на контуре;, – проекции на оси декартовых координат скоростей возмущения в точке s, вызванных каким-либо источником возмущения (например, вихрем, источником, телом, частично или полностью погруженным под свободную поверхность и т. п.);угол между вектором скорости набегающего потока и касательной к контуру в точкеs. Интегрирование производится по контуру сечения твердых стенок и свободной поверхности, а все величины, имеющие размерность скорости, отнесены к .

Пределы интегрирования разбиваются на промежутки АА', А'В, ВС, CD,DE, EF',F'F и FA и производится оценка отдельных интегралов по этим промежуткам для значений s, соответствующих точкам свободной поверхности и участкам твердых стенок А'А и FF'.

При оценке интеграла поCD, на этом участке контура можно положить поскольку вихревая интенсивность равна модулю скорости, а скорость на верхней стороне плоской бесконечно тонкой пластинки равна , за исключением малых окрестностей вблизи точек С и D:

(2а)

Используя теорему Бернулли и условие постоянства давления на свободной поверхности, вихревую интенсивность можно выразить через значения ординат свободной поверхности:

(3)

где – ускорение свободного падения.

После подстановки и преобразования в соответствии с заданными условиями по­лучается интегро-дифференциальное уравнение для определения формы свободной поверхности воды. При отсутствии возмущений одним из решений является , которое соответствует горизонтальной невозмущенной поверхности.

Ниже получены интегральные зависимости, исходя из условия равенства нулю суммарной нормальной составляющей скорости в точках свободной поверхности и сечения твердых стенок и из условия равенства вихревой интенсивности в произвольной точке контура значению касательной составляющей скорости к контуру в этой точке.

(4)

(5)

(6)

Уравнения типа (4) обычно получают иным путем, не рас­сматривая обтекание замкнутого контура со свободной границей (каверной) на нижней стороне, например, так, как это сделано в работе [7]. Вихревой слой при этом располагают на линии, соответствующей свободной поверхности. Из условия непроницаемости свободной поверхности получают интегро-дифференциальное уравнение, отличающееся формально от соотношения (4) только величиной численного коэффициента, стоящего в правой его части при (единица вместо ). Однако по­скольку линия свободной поверхности представляет собою контур незамкнутый, вихревая интенсивность уже не будет равна модулю скорости, а, следовательно, не имеет места такая про­стая связь между вихревой интенсивностью и формой свободной поверхности, какая дается формулой (5). В этом случае для определения(х) необходимо дополнительное нелинейное инте­гральное соотношение, в которое входит интеграл такого же типа, что и интеграл, стоящий в правой части уравнения (6). Таким образом, вместо простого алгебраического уравнения (5) получают нелинейное интегральное уравнение. В такой поста­новке задача существенно усложняется и сводится к решению системы, состоящей из упомянутого интегрального уравнения и интегро-дифференциального уравнения типа (4).

Формирование гидродинамической волны, разрушающей элементы коры, определяется конечной амплитудой как на свободной поверхности жидкости, в которой находится окариваемый лесоматериал, так и у границы коры.

Путем элементарных вычислений легко можно получить зависимости теории волн конечной амплитуды. Если положить в формуле (4) , то получится уравнение, которое может быть использовано для исследования волн конечной амплитуды:

(7)

Полагая производя разложение подынте­грального выражения в ряд по степеням подставляя затем в левую и правую части выражения для в виде ряда:

(8)

и производя элементарные вычисления с использованием фор­мул:

получим в левой и правой частях уравнения (7) ряды по синусам. Сравнение коэффициентов при синусах одинаковых углов позволяет составить систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов , и т. д. (коэффициент – величина заданная). Ниже приведена система для вычисления коэф­фициентов ряда (8), в котором сохранены только три первых члена:

(9)

где ; l – длина волны.

Из первого уравнения системы (9) следует, что разность ме­жду т и k выражается членами не ниже второго порядка мало­сти отношения амплитуды первой гармоники к длине волны. Значит, с принятой точностью вычислений из второго уравнения следует, что. Тогда из первого уравнения следует что, откуда можно вычислить зависимость скоро­сти распространения волны от её длины и амплитуды: