Газовые подшипники находят все большее применение в различных технических системах. Так, подшипники на газовой смазке хорошо зарекомендовали себя в станкостроении [1, 4, 5, 7], криогенной и авиа-космической технике, метрологическом оборудовании, гироскопических устройствах, газотурбинных установках, в атомной энергетике и т.д.

К настоящему времени накоплен опыт по разработке методик теоретического расчета характеристик бесконтактных подшипников [6, 8, 10]. В целом он показывает на заметно завышенные (по сравнению с опытными данными) эксплуатационные характеристики опор, полученные на основе применения аналитических методов расчета, и вполне удовлетворительные результаты расчетов на основе использования численных методов [3, 9].

Тем не менее, исходя из соображений простоты проведения параметрических исследований характеристик газовых опор, попытки разработки аналитических методик расчета с достаточной для инженерной практики точностью расчетов продолжаются. В этом направлении выполнена и настоящая работа, в которой рассмотрен простой случай работы газовых опор - без вращения вала (работа подшипника в режиме газового подвеса).

Газ из камеры нагнетания под давлением  поступает через пористые вставки в смазочный слой цилиндрического подшипника. Пористые вставки расположены равномерно по окружности в два ряда. Форма пористых вставок цилиндрическая. На вал действует радиальная нагрузка .

На основании работ [2, 6, 8] принимаются следующие общепринятые допущения относительно течения газа в пористой вставке и смазочном слое подшипника:

• течение газа в пористой среде считается вязким и ламинарным. К такому течению применим закон Дарси, что позволяет считать коэффициент проницаемости пористого материала  постоянным;
• течение смазки в зазоре подшипника изотермическое, а сама смазка сжимаемая;
• радиус вала намного больше толщины смазочного слоя;
• течением в пленке в направлении нормали к стенкам подшипника можно пренебречь и считать давление в этом направлении неизменным;
• массовые и инерционные силы малы по сравнению с силами вязкого трения;
• течение газа в зазоре подшипника стационарное.

Используя эти допущения, получаем уравнения для определения поля давления в зазоре подшипника [2]: в непроницаемой части вкладыша подшипника

; (1)

в пористой среде

, (2)

где: - толщина смазочного слоя, , где с - средний радиальный зазор, - полярный угол, отмеряемый от линии действия нагрузки (сечение с максимальным давлением), - длина дуги в смазочном слое, - относительный эксцентриситет, - эксцентриситет, R - радиус вала, - давление в смазочном слое подшипника, - квадрат давления в пористой среде (здесь и далее индекс  означает характеристики пористой среды), - коэффициент вязкости, - угловая скорость вращения вала (рис.1). Рассмотрим статическую задачу при ω=0.

 

Рис. 1. Газовый статический подшипник с двумя рядами пористых вставок:

1 - непроницаемая часть вкладыша подшипника; 2 - вал; 3 - пористая вставка

Ряды пористых вставок, в первом приближении, можно заменить пористыми кольцевыми втулками (пористыми стенками) ширины эквивалентными им по площади (метод непрерывных линий наддува), т.е. , где n- число вставок в ряду,R₀ - радиус вставки. По смыслу поставленной задачи, течение газа в пористой среде происходит только радиальном направлении , следовательно, в цилиндрической системе координат уравнение (2) принимает вид

. (3)

Уравнение (1) становится линейным и преобразуется в , где , или, если использовать полярный угол - в уравнение

. (4)

Таким образом, .

Граничные условия для уравнения (3) задаются на входе в пористую среду и на входе в смазочный слой: ; , , где , . Граничные условия для уравнения (4) задаются на торцах подшипника и в области пористых вставок: ; , , где ( - атмосферное давление). Неизвестное давление  в граничных условиях определяется как общее решение уравнений (3) и (4). Предполагая  заданным, решим уравнения (3), (4) с поставленными граничными условиями.

Решение уравнения (3) имеет вид (φ фигурирует как параметр) , где функции  находятся из граничных условий, т.е. являются решением системы уравнений . Решая эту систему и подставляя найденные функции в выражение для , находим  или

. (5)

Так как течение смазки симметрично относительно среднего сечения  в дальнейшем изложении рассматриваем половину подшипника. Решим уравнение (4) для непроницаемой части подшипника, расположенной между линией наддува и торцом подшипника (условно назовем эту часть торцевой). Так как вал не вращается, то для получения приближенного решения предположим, что  много больше  и первым слагаемым в уравнении (4) можно пренебречь, тогда получаем , откуда , где функции ,  находятся из граничных условий. В результате

. (6)

Неизвестный квадрат давления на выходе из пористой вставки  находится путем решения уравнения неразрывности, составленного для массового расхода через пористую матрицу с использованием формулы (5) и на выходе из подшипника с использованием формулы (6). В итоге получаем , где . Это грубое решение используется в дальнейшем лишь для определения максимального и минимального давлений в сечении области пористых вставок: , .

Пусть , тогда одно из точных решений уравнения (4) имеет вид , где первый сомножитель - решение уравнения , второй - решение уравнения , , - относительная толщина смазочного слоя,

,

- произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий и соблюдения общего характера распределения давления в сечении, тогда первое решение имеет вид: , где .

Уравнение (4) эквивалентно уравнению .

Второе решение получим, решая это уравнение методом Фурье.

Решение ищем в виде ( ). Подставляя эту функцию в уравнение и разделяя переменные, получаем систему уравнений

. (7)

В торцевой части подшипника граничные условия для первого уравнения: ,и по смыслу поставленной задачи функция  должна быть монотонной и в точке  достигать максимума, т.е. .

Решение первого уравнения системы (7) есть функция , где . Из условия  сразу следует, что , а из второго условия, что . Коэффициент B найдем позже, нормируя решение.

Второе уравнение системы (7) в квадратурах не интегрируется, но нами было замечено, что с помощью замены переменной  его можно преобразовать в линейное однородное уравнение относительно τ, так как ,  и уравнение принимает вид: , или

,

где .

Умножая обе части на  и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение

. (8)

Решение будем искать в виде , подставляя этот ряд в уравнение (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях τ к нулю, получим рекуррентные формулы для вычисления a_n в виде:

, , (9)

где - произвольные параметры.

Таким образом,  (в расчетах ), и второе решение имеет вид:

, где , в формулах (9) .

В торцевой части подшипника распределение давления принимается равным линейной комбинации этих двух решений с весовыми коэффициентами, пропорциональными средним давлениям в сечении

, где , , .

Аналогично, в средней части подшипника - в непроницаемой части подшипника, между линиями наддува.

В качестве первого решения берем распределение давления в области пористых вставок ( постоянно по переменной , начало отсчета сдвинуто по переменной z в точку ).

При построении второго решения граничные условия для первого уравнения системы (7): . Откуда сразу получаем: , где .

Коэффициенты ряда  вычисляются по тем же формулам (9), в которых теперь , следовательно, , и второе решение будет иметь вид: , где .

Распределение давления в средней части подшипника определяется равенством:

, где , , .

При проектировании подшипников наиболее важными интегральными характеристиками являются: - несущая способность, - коэффициент несущей способности, - коэффициент радиальной жесткости смазочного слоя.

С целью проверки адекватности результатов расчетов было проведено сравнение с опытными данными, полученными на экспериментальном стенде ФГБОУ ВПО «КнАГТУ».

На рис. 2 представлены характеристики двухрядного подшипника с цилиндрическими вставками.

 

а                                                                       б 

Рис. 2. Зависимости от эксцентриситета коэффициентов:

а) несущей способности, б) радиальной жесткости

Было также проведено сравнение с экспериментальными данными для подшипников с пористыми шпоночными вставками: с одним рядом и с двумя рядами наддува (рис. 3).

 

а                                                                         б 

Рис. 3. Зависимости коэффициентов несущей способности от эксцентриситета:

а) один ряд наддува, б) два ряда наддува

Из представленных графиков видно вполне удовлетворительную согласованность теоретических и опытных данных. Максимальная относительная погрешность при вычислении Q не превосходит 10 %.

Рецензенты:

• Биленко С. В., д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Технология машиностроения» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.
• Феоктистов С. И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Технология самолетостроения» ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.