Задача оптимального (и, в частности, экстремального) управления на минимум ресурсов нелинейными динамическими объектами представляет сложную, до конца не решённую проблему. Общей методики для решения нелинейных оптимальных задач не существует ввиду их большого разнообразия. В качестве основного метода исследования оптимального упра­вления используется принцип максимума Понтрягина, учитывающий ограничения на переменные системы и поэтому применяемый для решения практических задач, и условия общности положения (УОП) для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат [3,4,5].

Нестационарность нелинейных объектов с экстремальной стати­ческой характеристикой проявляется в дрейфе статической характе­ристики, который может быть вертикальным или горизонтальным и получается при различном вхождении времени в уравнения движения объекта – аддитивном, мультипликативном и смешанном. Под адди­тивным вхождением времени понимается случай, когда в уравнениях движения время суммируется с координатами объекта, под мультипликативным – когда время умножается на координаты объекта. При смешанном вхождении в уравнения движения переменная суммиру­ется и умножается на координаты объекта.

В данной статье исследуются нестационарные нелинейные объекты при вертикальном дрейфе статической характеристики с мультипликативным вхождением времени в математическое описание объекта управления (ОУ).

ОУ представлен в виде структуры, образованной последовательным соединением линейного динамического звена и нелинейного динамического звена с экстремальной статической характеристикой, и эта структура может быть описана системой дифференциальных уравнений нелинейных по координа­там , но линейных по управлениям

где – функциональная матрица – столбец с элементами , ; - функциональная матрица – столбец с элементами , (функции , , , непрерывны и достаточное число раз непрерывно дифференцируемы по ); – скалярная функция.

Необходимо найти допустимое управление , , доставляющее минимум интегральному критерию

. (1)

где T – время движения от начальной до конечной точки заранее не задано.

Как показано в [6], для исследования нестационарных задач используется рекуррентное соотношение:

, (2)

где , , .

Из векторов , , составляется матрица . Если определитель матрицы , то из выражения определяется множество особых управлений в функции фазовых координат и параметров системы.

Дифференциальные уравнения связи, характеризующие ОУ, имеют вид:

(3)

Статическая характеристика объекта (3) выражается уравнением , а экстремум статической характеристики имеет координаты .

Модель (3) в общем случае является неаналитической функцией, за исключе­нием случаев четных показателей q, например, при получается аналитическое уравнение квадратичной статической характеристики. Вместе с тем относительно неаналитической модели (3) предполагается, что в подпространствах входной ко­ординаты нелинейного звена и известны соответствующие аналитические функции, тогда

(4)

Рассмотрим подпространство . В задаче на минимум функционала (2) получаем особое управление

(5)

Система (3) под особым управлением (5) примет вид:

(6)

Состояниями равновесия (особыми точками) системы (6) являются точка экстремума статической характеристики и точка с координатами . Применяя качественную теорию дифференциальных уравнений [1,2], найдём в окрестности особых точек параметры , , а также корни характеристического уравнения :

1) в окрестности точки параметры , , корни характеристического уравнения , ;

2) в окрестности точки параметры , , корни характеристического уравнения , .

Сделаем некоторые выводы о состояниях равновесия системы (6). При состояние равновесия является простым. Из полученного следует, что при некоторых параметрах дрейфа и моментах времени простое состояние равновесия переходит в сложное, а именно – при . Откуда находим условие .

В окрестности особой точки преобразуем к виду . Рассмотрим случай . Тогда исследовать знак корня можно исходя из выражения :

1) при , числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер седла;

2) при , числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер устойчивого узла;

3) при положительном параметре дрейфа в моменты времени , , , , простые состояния равновесия превращаются в сложные типа седло-узел, и поэтому этот параметр дрейфа и соответствующие моменты времени являются бифуркационными. Бифуркационными также являются отрицательный параметр дрейфа и момент времени , .

Рассмотрим случай . Исследуя знак корня , исходя из выражения получим:

1) при , числитель и знаменатель одного знака, поэтому простые состояния равновесия имеют характер устойчивого узла;

2) при , числитель и знаменатель на некоторых интервалах времени имеют различные знаки, в этом случае простое состояние равновесия принимает характер седла;

3) случай рассмотрен выше.

При точка не является состоянием равновесия системы (6). При система (6) имеет единственное состояние равновесия – точку экстремума статической характеристики .

При (критерий быстродействия), определитель матрицы , из приравнивания нулю которого определяется уравнение особой траектории .

Рассмотрим особую точку . Действуя аналогично приведённому выше, преобразуем к виду . При исследовать знак корня можно, исходя из выражения , при – исходя из выражения , исследования которых проведены выше.

При точка не является состоянием равновесия системы (6). При система (6) имеет единственное состояние равновесия – точку .

Идентичные результаты получаются при анализе подпространства .

Результаты численного моделирования для параметров , , , , , , , представлены на рисунке 1. В этом случае система (6) имеет два состояния равновесия – точки – экстремум статической характеристики, .

Для параметров , , , , , , , представлены на рисунке 2. В этом случае система (6) имеет одно состояние равновесия – точку .

Рисунок 1. Два состояния равновесия – точки ,

Рисунок 2. Одно состояние равновесия – точка

Вывод

Выбирая величину параметра в интегральном функционале (2), можно добиться асимптотической устойчивости точки экстремума статической характеристики системы (3) под действием особого управления (5). Из графиков переходных процессов видно, что под особым управле­нием траектории системы устойчивы, т.е. подтверждаются результа­ты качественного исследования, причем происходит отслеживание дрейфующих точек экстремума.

Рецензенты:

Присмотров Н.И., д.т.н., профессор кафедры ЭПиАПУ, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.

Частиков А.В., д.т.н., профессор, декан факультета прикладной математики и телекоммуникаций, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.