Введение

В середине прошлого века теория транспортных потоков образовала самостоятельную ветвь в прикладной математике. Существует большое количество математических моделей, отличающихся по математическому аппарату и степени детализации, позволяющих решать различные задачи по распределению транспортных потоков внутри сети. Задачи макромоделирования базируются на поиске равновесного распределения потоков, микромоделирование решает проблемы пропускных способностей локальных участков сетей [2]. Из-за различного характера гипотез, закладываемых в макро- и микромодели, задача обмена информацией между ними не решена ни теоретически, ни в виде программных продуктов.

Эффективность решения задачи поиска потокового равновесия во многом зависит от способа аналитического задания функции транспортных затрат. Авторами в работе [3] предложена математическая модель транспортной сети, которая базируется на гипотезе о распределении интервалов по времени по обобщенному закону Эрланга.

Функция распределения обобщенного закона Эрланга

Согласно проведенным авторами исследованиям [5], распределение интервалов по времени между требованиями в транспортном потоке при интенсивности движения по одной полосе до 300 авт/ч хорошо согласуется с законом Эрланга. Однако в более плотных потоках расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями становится существенным. Ряд авторов [1,4] утверждает, что с помощью обобщенного закона Эрланга можно аппроксимировать практически любое распределение случайной величины.

Простым обобщением специального распределения Эрланга порядка является случай, при котором показательные распределения длительности стадий имеют различные параметры . Преобразование Лапласа функции плотности такого распределения является рациональной функцией и имеет вид:

. (1)

Для получения самой функции плотности распределения необходимо разложить (1) на простые дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов и найти оригинал по его изображению. В случае, если все параметры различны, функция плотности имеет вид:

(2)

Если ввести следующие обозначения: , ,

то функция плотности распределения примет более простой вид:

. (3)

При этих условиях нетрудно определить интегральную функцию распределения:

. (4)

Математическое ожидание для обобщенного закона Эрланга может быть получено с учетом его свойств и определения потока Эрланга:

. (5)

Рассуждая аналогично, получим значение дисперсии для обобщенного закона Эрланга:

. (6)

Определение параметров обобщенного закона Эрланга по экспериментальным данным

Параметры обобщенного закона Эрланга авторы предлагают определять с помощью метода моментов, то есть, приравняв теоретические и эмпирические значения математического ожидания и дисперсии.

Пусть , где – выборочная средняя случайной величины – интервалов между следующими подряд по одной полосе автомобилями; – выборочная дисперсия случайной величины . Параметр – целое число, большее .

Экспериментальные исследования авторов показали, что значение для случайной величины не превышает четырех.

Пусть . В этом случае необходимо определить два неизвестных параметра: и .

При .

.

Обозначим , тогда ;

Переменная является решением квадратного уравнения:

;

.

Таким образом, при условии значения параметров:

, . (7)

Найдем отношение . Введем обозначение: , тогда:

.

Неравенство равносильно следующему: .

Последнее условие как раз и гарантирует наличие действительных значений параметров .

При . Пусть , тогда

После элементарных преобразований:

.

Возведем первое уравнение в квадрат и разделим первое уравнение на второе. После упрощения получим квадратное уравнение:

.

При корнями уравнения являются:

, (8)

Учтем обозначение , тогда

, при .

Условие гарантирует наличие действительных корней.

После этого находим параметр :

. (9)

При . Пусть .

Составим систему уравнений с двумя неизвестными параметрами и .

Возведем первое уравнение в квадрат и разделим первое уравнение на второе. После элементарных преобразований получим:

.

Это уравнение четвертой степени с симметричными коэффициентами, сводится к квадратному с помощью замены переменной: . Следовательно:

При условии положительным решением уравнения является:

. (10)

Тогда:

; . (11)

Учитывая, что , то есть , найдем условие, гарантирующее наличие действительных значений переменной :

, .

При неравенство выполнено. При :

, , .

Таким образом, условие гарантирует наличие действительных значений переменной .

Отметим, что если – целое число, то для всех значение , а, следовательно, все совпадают. Таким образом, получим специальное распределение Эрланга, подробно рассмотренное в работах [5,6].

Алгоритм проверки гипотезы о виде распределения интервалов по времени по обобщенному закону Эрланга

Адекватность гипотезы о распределении интервалов между автотранспортными средствами по обобщенному закону Эрланга можно проверить по следующему алгоритму:

1) при помощи эксперимента получить зависимость между – интервалом (по времени) между двумя последовательными прибытиями автомобилей, двигающихся в данном направлении, и количеством ni таких интервалов, появившихся в результате эксперимента;

2) вычислить эмпирические моменты:

, где – объем выборки.

3) найти вероятность pi попадания случайной величины в каждый интервал по формуле:

.

Тогда теоретическое число значений, попавших в интервал , рассчитывается по формуле:

.

4) в качестве меры расхождения эмпирических частот и теоретических используется критерий Пирсона:

( 12)

с (L – 3) степенями свободы.

Также можно использовать критерий Романовского:

, (13)

где К – число разрядов. Если R < 3, то сходимость считается хорошей.

Заключение

Авторами разработана математическая модель транспортной сети, в которой поток на дугах графа задан как функция плотности распределения интервалов по времени между автотранспортными средствами; выведено аналитическое задание функции транспортных затрат при условии справедливости гипотезы о распределении интервалов по времени по обобщенному закону Эрланга. В данной работе приведен метод определения параметров для работы с вышеуказанной моделью.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект р-юг-а-13-08-96502.

Рецензенты:

Атрощенко В.А., д.т.н., профессор, декан факультета компьютерных технологий ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет» Министерства образования и науки РФ, г. Краснодар.

Видовский Л.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой вычислительной техники и автоматизированных систем управления ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет» Министерства образования и науки РФ, г. Краснодар.