Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

Закинян Р.Г. 1 Сухов С.А. 1 Ларченко И.Н. 1
1 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1, Ставропольский государственный университет (СГУ)
В работе обсуждаются естественная конвекция, или конвекция Рэлея – Бенара, течения, поддерживаемые неоднородным нагревом по горизонтали (циркуляция Хэдли) и возможность их объединения в общую конвективную модель Рэлея-Хэдли. Приводится система нелинейных дифференциальных уравнений в приближении Обербека – Буссинеска, описывающая двумерную конвекцию в замкнутой полости в присутствии горизонтального и вертикального градиентов температуры. Система записана в безразмерных переменных «вихрь, функция тока, температура, возмущение температуры». В качестве управляющих параметров, определяющих режимы конвекции, выбраны: число Рэлея, число Прандтля, число Хэдли. Применен конечно-разностный численный метод для решения системы. Получены картины предельных стационарных режимов при различных числах Рэлея. Исследованы интегральные характеристики (число Нуссельта) в зависимости от числа Рэлея. Приведена степенная зависимость числа Нуссельта от числа Рэлея.
свободная конвекция
число Рэлея
циркуляция Хэдли
число Нуссельта
вихрь
1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972. - 392 с.
2. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея - Бенара. Структура и динамика. - М.: Эдиаториал УРСС, 1999. - 247 с.
3. Лоренц Э.Н. Природа и теория общей циркуляции атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1970. - 259 с.
4. Палымский И.Б. Численное моделирование двумерной конвекции при высокой надкритичности // Успехи механики. - 2006. - № 4. - С. 3 - 28.
5. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. - 652 p.
6. Riehl H., Fultz D. Jet stream and long waves in a steady rotating-dishpan experiment: Structure of the circulation // Quart J. R. Met. Soc. - 1957. - № 356. - P. 215-231.
7. Riehl H., Fultz D. The general circulation in a steady rotating-dishpan experiment // Quart J. R. Met. Soc. -1958. - № 362. - P. 389 - 417.
Введение. В гидродинамике в основном исследуются два вида конвекции. Каждый из них представляет собой атмосферный феномен, который обычно наблюдается в широких пространственных и временных масштабах. Первый возникает, когда вязкая среда нагревается снизу; как только амплитуда нагрева превышает некоторое критическое значение, среда самоорганизуется в систему отдельно вращающихся вихрей (конвекционных ячеек) [2, 5]. Это естественная  конвекция  или конвекция Рэлея - Бенара. Примером такой конвекции может служить образование облаков, находящихся на вершине пограничного слоя атмосферы (1-1.5 км), в виде «облачных улиц» или пчелиных сот.

Второй тип конвекции возникает благодаря нагреву по горизонтали. В лабораторном эксперименте, в котором одна стенка вращающегося кольцевого канала нагревается, в то время как другая стена охлаждается, развивается двумерная ячейка в радиально-вертикальной плоскости [6, 7]. Прототипом такого течения является циркуляция Хэдли [3], наблюдаемая в северном и южном полушариях в поясе от экватора до 20°-30° широты. Таким образом, можно назвать движения, поддерживаемые неоднородным нагревом по горизонтали, конвекцией Хэдли. Две разновидности конвекции могут рассматриваться как частные случаи конвекции Рэлея - Хэдли (например, бризовая циркуляция), т.е. движения в средах, в которых существенны градиенты температуры, как по горизонтали, так и по вертикали. В любой физической  системе ни решения Рэлея, ни решения Хэдли в чистом виде не могут наблюдаться, потому что, по крайней мере, малые температурные градиенты всегда присутствуют в обоих направлениях.

В настоящей статье проводится численное исследование нелинейной модели двумерной неглубокой конвекции в форме Обербека - Буссинеска, которая реагирует на нагрев, как по горизонтали, так и по вертикали.

Целью работы является исследование влияния горизонтального градиента температуры на устойчивость и форму конвективных ячеек в жидкости.

Рассмотрим безразмерную ограниченную область  с аспектным отношением A=1. Для численного решения предпочтительно ввести переменную  (Ω  имеет смысл проекции вихря скорости на направление, перпендикулярное плоскости движения) и добавить возмущение температуры в безразмерном виде θ. Тогда система в безразмерных переменных «вихрь Ω- функция тока ψ- температура T- возмущение температуры θ»  запишется в виде:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

где  - некоторое значение безразмерной температуры на верхней горизонтальной границе при числе Ha=0. Здесь Ra - число Рэлея, Ha - число Хэдли, Pr - число Прандтля. Безразмерные параметры Ra и Ha характеризуют тепловое воздействие по вертикали и горизонтали соответственно.

На границах квадратной области заданы жесткие граничные условия: обращаются в нуль вертикальная и горизонтальная компоненты скорости, возмущения температуры. На горизонтальных и вертикальных границах заданы линейные профили температуры. Положим . Задав некоторое начальное распределение вихря скорости и температуры, при помощи уравнений (1) - (4) и краевых условий можно проследить за эволюцией этого начального распределения и, в частности, получить предельный стационарный режим.

Численный метод. Для численного решения задачи применим метод конечных разностей. Введем пространственно-временную сетку:

          , ,

,   

и обозначим . Заменяя производные по времени односторонними разностями, а производные по координатам - центральными, получим:

, (5)

,(6)

  

,(7)

. (8)

Значение вихря на стенке получается из условия  Вудса второго порядка точности. Уравнение Пуассона (6) решалось итерационным методом Либмана.

Шаг по времени τ выбирался таким образом, чтобы при дальнейшем его уменьшении поля величин оставались неизменными. Основные расчеты проводились на сетке 20x20. Вычисления на более грубой сетке 16x16 и мелкой - 40x40 показали достаточную точность полученного численного решения. При Ha=0 полученные поля функции тока и температуры совпали с имеющимися расчетными данными в [1] при Ra=3500, Ra=8000, Ra=60000. Расчетные графики выполнены на сетке 40x40.

Для поиска стационарных режимов задавалось начальное распределение вихря скорости, и затем отслеживалась его эволюция на безразмерном временном отрезке [0;1]. Такого промежутка было достаточно для установки предельного течения. Число Прандтля во всех расчетах принималось  равным 4.0 (для воды Pr=4.8). Начальное распределение температуры было выбрано в виде .

Обсуждение результатов. В ходе численных расчетов была показана однозначная зависимость направления циркуляции от знака числа Ha. Задаваемое начальное распределение вихря скорости в виде локального вихря или его отсутствия  оказалось несущественным для достижения предельного стационарного режима. Развиваясь, начальное возмущение с циркуляцией, обратной предельному стационарному режиму, меняло первоначальное направление вращения на противоположное, и после переходного процесса, продолжительность которого примерно составляла 0.2 безразмерного времени, устанавливалось предельное состояние.

Рисунок 1. Предельный стационарный режим  при Ra=60000, Ha<0. Представлены изолинии а) функции тока, б) полной температуры.

С ростом числа Рэлея увеличивалась область изотермического ядра с температурой T=1, что объясняется конвективным перемешиванием. Об интенсивности течения можно судить по максимальным значениям функции тока (Рис 1а). Проводились исследования и в условиях колебательного режима конвекции при больших числах Рэлея. Так, при Ra=600000 была обнаружена система из двух интенсивно вращающихся вихрей относительно общего центра. Теплые потоки жидкости, вытесненные холодным потоком, поднимались наверх и перемещались в область пониженной температуры, где затем диссипировали.

Основной интегральной характеристикой конвективного теплообмена является среднее число Нуссельта, служащее мерой интенсивности конвективного движения. Для задачи (1) - (4) число Нуссельта в момент tn рассчитывалось по формуле:

.

Рисунок 2. Влияние числа Рэлея на установление среднего числа Нуссельта во времени.

Для задачи (1) - (4) зависимость числа Нуссельта от числа Рэлея с графической точностью представляется формулой:

 при .

На Рис. 2 сравниваются результаты расчетов по установлению во времени среднего числа Нуссельта для различных чисел Ra. Интенсивность конвективного переноса тепла увеличивается с ростом числа Ra. При достижении Ra≈ 2*105 наблюдается колебательный режим; при дальнейшем увеличении  растет частота колебаний.

Вывод. Как указано в [4], данные расчетов с жесткими граничными условиями лучше соответствует экспериментальным данным. Добавление горизонтальной неоднородности температуры вместе с жесткими граничными условиями усилило устойчивость конвективных течений, что является важным фактором их реализуемости в реальной жидкости (или атмосфере).

Таким образом, в работе численно исследована общая конвективная модель, более точно воспроизводящая наблюдаемые режимы конвекции. Показано, что неизбежно возникающие в реальной атмосфере горизонтальные градиенты существенно влияют на характер течений.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (№ 02.740.11.0739).

Рецензенты:

  • Диканский Ю.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой общей физики ФГБОУ ВПО «Ставропольский государственный университет»,  г. Ставрополь.
  • Симоновский А.Я., д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры теоретической физики ФГБОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», г. Ставрополь.

Библиографическая ссылка

Закинян Р.Г., Сухов С.А., Ларченко И.Н. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ // Современные проблемы науки и образования. – 2011. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=5016 (дата обращения: 15.02.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252