Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО РОДА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Абрегов М.Х. 1 Бечелова А.Р. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский Государственный Университет им. Х.М. Бербекова»
Нагруженные дифференциальные уравнения возникают при моделировании различных физических и биологических процессов, в частности, при изучении движения почвенной влаги, задачах теплопроводности. При решении краевых задач для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля появляется необходимость повышения порядка точности применяемого конечно-разностного метода. Данная работа посвящена численному методу повышенного порядка точности решения краевой задачи третьего рода для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля. В работе приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В классе достаточно гладких коэффициентов доказана сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи в равномерной метрике с четвертым порядком точности по шагу сетки. Основным методом исследования задачи является принцип максимума. С помощью принципа максимума получены априорные оценки погрешности приближенного решения в равномерной метрике, откуда следует её сходимость к точному решению задачи.
третья краевая задача для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля
однозначная разрешимость
численный метод решения повышенного порядка
равномерная оценка
1. Абрегов М.Х., Бечелова А.Р. Вторая краевая задача для нагруженного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Известия КБНЦ РАН, №3(35), Нальчик, 2010 г.
2. Абрегов М.Х., Бечелова А.Р., Нахушева Ф.М. Численный метод решения краевой задачи второго рода для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля. Современные проблемы науки и образования. – 2015. - № 1; URL: www.science-education.ru/121-18383.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1982 г.
4. Protter M.A.,Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J.- 1967 г.
5. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983 г.
6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989 г.
             В   работе   рассматривается численный метод решения краевой задачи

                                                                  (1)

                                                                                                                               (2)                                                                                                                                                                                                                                         (3)

где   - фиксированная точка интервала ,  и  - положительные числа. Коэффициент в уравнении (1) предполагается отличным от нуля хотя бы в одной точке отрезка

Пусть   и  - решения дифференциальных задач

                                            (4)

,                                                           (5)

соответственно. Приведём формулировки теорем, в которых даются необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1)-(3).

Теорема 1. Пусть   и  выполнено условие       

.                                                                                                                                                   (6)

Тогда задача  (1)-(3) однозначно разрешима в  классе  , и её решение представимо

в виде       

.                                                                                                            (7)

Теорема 2. Пусть   и функция   такова, что для всех    выполнено условие

.                                                                                                                                (8)

Тогда решение задачи (1)-(3) существует, единственно и принадлежит классу .

Эти теоремы доказаны в работах , . В дальнейшем будем считать, что выполнены условия В: .           

Имеет место

Теорема 3. Если удовлетворяют условию В и выполнено   (8), то решение задачи (1)-(3) принадлежит классу .

Доказательство этой теоремы следует из однозначной разрешимости задач (4) и (5) в классе  при выполнении условий В, и представления решения в виде (7).

Введём  на отрезке  равномерную сетку  . Шаг  сетки   выберем  меньше половины меньшего из отрезков .  Номер    выберем из  условия  .  Используем для сеточной функции , определённой на , обозначение :.  Дифференциальную задачу (4) аппроксимируем конечно-разностной схемой

,                                                                         (9)

,

,

где      ,   

а дифференциальную задачу (5) - конечно-разностной схемой

          ,                                                               (10)

,

,

где .

Конечно-разностные схемы (9) и (10) аппроксимируют задачи (4) и (5) соответственно, с точностью  , что не трудно показать с помощью разложений по формуле Тейлора.

Пусть

,                                                      (11)

полином Лагранжа третьей степени, проведённый через точки,,, .  Коэффициенты  Лагранжа вычисляются по формулам:

 ,   ,

,   .                                 (12)

Введём обозначение   и покажем, что    аппроксимирует значение  с точностью . В силу равенств  , и ограниченности коэффициентов Лагранжа,  . Поскольку полином  аппроксимирует функцию  на отрезке  с точностью , что следует из известной оценки погрешности полинома Лагранжа , то найдётся положительная постоянная , не зависящая от  , что

.                                                                                                          (13)

Аналогично,  аппроксимируются величиной  с точностью  , следовательно,  найдётся постоянная , что

.                                                                                                                      (14)

В качестве приближённого решения задачи (1)-(3) выберем сеточную функцию :

, .                                                                                           (15)

Имеет место

Теорема  4. Пусть  выполнены условия В и (8).  Тогда сеточная функция ,  определённая по формуле (15), сходится при    к  решению  задачи (1)-(3) со скоростью    в равномерной метрике.

Доказательство. Используя представление (7) решения задачи (1)-(3),  получим оценку погрешности    в равномерной метрике:

.                                                                                       (16)

Оценим слагаемые в правой части (16). Сначала оценим . Отметим, что в силу принципа максимума разностной краевой задачи третьего  рода , решения задачи (10) положительны. Перепишем уравнение (10) в виде                                                   

.    (17)

Пусть положительный максимум   функции достигается в точке , т.е.  , где . Тогда,  в силу ,  из  (17)  получаем оценку

.                                                                                         
Если , то из левого краевого условия (10) следует оценка:

.       

Если , то из правого краевого условия (10) следует оценка:

         .                    

Таким образом, для решения задачи  (10)  имеет место оценка:

.                                                                                                                        (18)

С  учётом аппроксимации порядка   разностной схемы (10) на решении задачи (4), найдётся положительная постоянная  , что                                                                            .                                                                                                          (19)

Также найдется положительная постоянная ,что

.                                                                                                                      (20)

Введём обозначение  .  Если выполнено условие (8), то, как следует  из       принципа максимума  третьей краевой задачи  для оператора Штурма-Лиувилля , , при этом имеет место оценка

 .                                                                                                                                (21)

Получим нижнюю оценку выражения .  Пусть - шаг сетки, что . Тогда при  оценка  (13) принимает вид  , откуда следует:

.                                                                                    (22)

Применяя оценки (13), (14), (18)-(22) из (16) получаем:

.                                              (23)

Из оценки (23) следует утверждение теоремы 4.


Рецензенты:  

Шхануков-Лафишев М.Х. д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления   Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А,, д.ф.-м.н., профессор, Высокогорный  Геофизический  Институт, г. Нальчик.   


Библиографическая ссылка

Абрегов М.Х., Бечелова А.Р. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО РОДА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=20344 (дата обращения: 19.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074