Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Севодин М.А. 1 Козловская Я.И. 1
1 ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Известные модели составления оптимальной структуры портфеля для расчета доходности ценной бумаги используют единственное суточное измерение ее стоимости. При этом не учитывается тот факт, что стоимость ценной бумаги в течение торгового дня колеблется, достигая минимального и максимального значения. В работе предлагается модель составления оптимальной структуры фондового портфеля с учетом суточных колебаний стоимости акций. Для описания доходностей ценных бумаг используются треугольные нечеткие числа, построенные с учетом изменения цены активов за рассматриваемый период времени. В работе приводится пример использования модели для построения портфеля из семи типов ценных бумаг. Проведено сравнение с обычными методами, которое показало, что предлагаемая модель позволяет составить более эффективный портфель с точки зрения максимизации доходности и минимизации риска инвестиций.
риск
доходность
нечеткие числа
Портфель ценных бумаг
1. Ибрагимов В.А. Элементы нечеткой математики. – Баку: Изд-во АГПУ, 2010. – 392 с.
2. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. – 1995. – Т. 31. – Вып. 1. – С.138-150.
3. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. – СПб.: Изд. Сезам, 2002. – 181 с.
4. Хижняков Ю.Н. Нечеткое, нейронное и гибридное управление: учебное пособие. – Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. – 302 с.
5. Шведов А.С. О нечетко-случайных величинах. – М.: Издательский дом Высшей школы экономики, 2013. – 28с.
6. Компоненты РТС [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.investing.com/indices/rtsi-components (дата обращения 01.06.2014).

Целью управления финансовыми активами является достижение определенного экономического эффекта в будущем. В частности, инвестор (держатель фондового портфеля) старается максимизировать доходность и минимизировать риск неэффективности своих инвестиций. Так как будущее состояние активов и их окружения неизвестно, то управление протекает в условиях неопределенности, которая порождает риск неэффективного управления.

Существуют классические подходы к составлению оптимальной структуры портфеля ценных бумаг (ПЦБ), в основе которых лежит рассмотрение доходности ценной бумаги (ЦБ) как статистического случайного процесса, однако используемые в них допущения не вполне согласованы с реальностью фондового рынка.

Основная проблема в том, что процессы, протекающие на фондовом рынке, часто неустойчивы и неоднородны. Неопределенность – неотъемлемое свойство рынка ценных бумаг. Таким образом, нельзя утверждать статистическую однородность случайного процесса доходности ЦБ при классическом понимании вероятности [3]. Вследствие этого вполне логичен вывод, что характер связи между доходами различных типов бумаг не может быть описан статистически.

Здесь следует заметить следующее. В классической модели составления ПЦБ для определения доходности акции используются значения ее цены, снятые единожды в каждый момент времени (например, один раз в течение торгового дня). При этом не учитывается тот факт, что на протяжении торгового дня стоимость акции колеблется в определенном интервале от минимального значения к максимальному. Чтобы учесть размытость исходных данных во времени, уместно использовать для описания доходности ЦБ треугольные нечеткие числа. Для этого нужно модифицировать известную модель построения оптимальной структуры ПЦБ [2] с использованием аппарата нечетких множеств.

Примем в рассмотрение то, что в течение торгового дня стоимость ЦБ изменяется непрерывно, достигая некоего максимального и минимального значения, и дадим определение доходности ценной бумаги как треугольного нечеткого числа.

Пусть для отрезка времени определены три параметра -й бумаги: стоимость в момент открытия торгов (), а также максимальная () и минимальная () стоимость, , , здесь – число рассматриваемых видов ценных бумаг, – число наблюдений. Тогда максимальная доходность ЦБ – отношение максимально возможной прибыли за выбранный период, полученной инвестором за время владения ценной бумагой, к затратам на её приобретение:

(1)

Аналогично, минимальная доходность ЦБ – отношение минимально возможной прибыли за выбранный период, полученной инвестором за время владения ценной бумагой, к затратам на её приобретение:

(2)

Исходя из этого, можно представить доходность ценной бумаги в момент времени в виде треугольного нечеткого числа:

, (3)

где.

Функция принадлежности такого числа имеет треугольный вид (рис. 1).

Рис. 1. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа

В нечеткой арифметике операции над нечеткими числами вводятся через операции над функциями принадлежности. При этом используется понятие уровня принадлежности (-уровня) как ординаты функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности. Основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с действительными числами – четкими значениями (степень принадлежности которых равна единице) и границами интервалов. Подробно с операциями над нечеткими числами можно ознакомиться в [4].

Если мы имеем дело с историей котировок ЦБ за некоторый временной промежуток, то, представляя ее доходность в виде (3) в каждый момент времени, получим нечетко-случайную величину доходности ЦБ. Для нечетко-случайных величин, как и для обычных случайных величин, определены понятия математического ожидания и дисперсии [5]. Так, ожидаемая доходность акции , учитывая правило сложения треугольных нечетких чисел, рассчитывается следующим образом:

(4)

Введем обозначения:

Тогда элемент матрицы к вариации доходностей акций также является нечетким числом и имеет вид:

(5)

Будущая доходность портфеля представляется нечеткой функцией, поскольку нечеткими являются значения доходностей ЦБ, входящих в него:

(6)

Риск портфеля также является нечеткой функцией вида

(7)

Для нахождения оптимальной структуры портфеля будем максимизировать функцию

, (8)

при условии

, (9)

где – доля портфеля, инвестированная в ЦБ типа .

Функция является нечеткой функцией четкого аргумента, поскольку инвестор желает совершенно точно знать, в каком количестве ему следует приобретать ЦБ каждого вида, чтобы составить свой фондовый портфель. Заметим, что дифференцирование треугольной нечеткой функции проводится по правилам вещественного дифференцирования [1].

Наша нечеткая функция задана в виде . В таком случае дифференцирование по аргументам будем производить следующим образом:

(10)

С помощью дифференцирования и преобразований, аналогичных проведенным в [2], получим системы линейных неоднородных уравнений с нечеткими коэффициентами для среднего, левого граничного и правого значения функции . Также воспользуемся понятием -уровня нечеткого числа, т.е. представим

;;

.

С учетом такого представления системы принимают вид:

(11)

(12)

(13)

Для каждого конкретного -уровня эти три системы содержат только четкие числа и могут быть решены относительно , и . Затем для каждой системы могут быть найдены доли , , ценных бумаг, из которых составляется портфель:

(14)

Нижняя граница -уровня, то есть его минимальное рассматриваемое значение, задается экспертом самостоятельно. В нашей работе мы приняли .

Для демонстрации описанной модели составим ПЦБ из нескольких видов ценных бумаг, определим его оптимальную структуру и сравним его характеристики (доходность, риск, критерий эффективности, равный отношению доходности к риску) с портфелем, составленным по известной вероятностной модели [2].

Для построения портфеля ценных бумаг по предложенной модели были взяты данные за апрель – май 2014 г. о ценных бумагах семи из пятидесяти предприятий, на основании стоимости которых строится индекс РТС. Были рассмотрены четыре суточных показателя: стоимость бумаги в момент открытия торгов, в середине торгового дня, а также максимальная и минимальная ее стоимость в течение торгового дня.

С данными о стоимостях акций этих предприятий можно ознакомиться на сайте электронного ресурса [6], в разделе «РТС». На основе этих данных по формуле (4) были рассчитаны доходности ценных бумаг (таблица 1). В столбце содержатся значения доходностей, вычисленные по [2] с использованием единственного измерения стоимости цены акций в середине торгового дня.

Таблица 1. Доходности ЦБ

Предприятие

ОАО Сбербанк России

0,001201

-0,013438

0,015840

0,000907

ОАО Мобильные ТелеСистемы

0,004038

-0,008393

0,016468

0,002579

ОАО Мегафон

0,001779

-0,007704

0,011262

0,001242

ОАО Магнит

0,000554

-0,014184

0,015292

0,002529

ОАО Северсталь

0,003785

-0,014539

0,022110

0,001204

ОАО Газпром

0,002982

-0,006314

0,012278

0,002116

ОАО АК Транснефть

0,002474

-0,007497

0,012446

0,001828

С помощью представленного выше алгоритма были найдены доли ЦБ , , для всех . Затем, по формуле (8), для каждого были определены значения и . Наконец, на базе этих значений была построена функция принадлежности (рис. 2).

Рис. 2. Функция принадлежности критерия эффективности портфеля

Максимум функции принадлежности соответствует наиболее достоверному значению . Оно является вещественным числом, т.е. можно однозначно определить структуру ПЦБ, соответствующую такому , причем она будет оптимальной. Доли ЦБ в итоговом портфеле, соответствующем максимальному критерию эффективности по предложенной нечеткой модели, распределились следующим образом (таблица 2). Также таблица содержит доли ЦБ в портфеле, структура которого рассчитана по известной вероятностной модели.

Таблица 2. Доли ЦБ в итоговом портфеле

Предприятие

Доля ЦБ в портфеле

Нечеткая модель

Вероятностная модель

ОАО Сбербанк России

0,1560

0,1261

ОАО Мобильные ТелеСистемы

0,1337

0,2652

ОАО Мегафон

0,2910

0,1738

ОАО Магнит

0,1319

0,1377

ОАО Северсталь

0,0772

0,0597

ОАО Газпром

0,0600

0,1202

ОАО АК Транснефть

0,1502

0,1173

Главные характеристики портфелей, полученных по обеим моделям, приведены в таблице 3.

Таблица 3. Характеристики портфелей

Характеристика

Значение

Нечеткая модель

Вероятностнаямодель

Доходность

0,00216

0,00190

Риск

0,004752

0,005471

Критерий эффективности

0,45477

0,34784

Из таблицы видно, что ПЦБ, составленный в соответствии с предложенной в данной работе моделью, имеет большую доходность и меньший риск, в сравнении с тем, который составлен по известной вероятностной модели. Таким образом, модель с использованием нечетких чисел дает более эффективный портфель, чем известная модель, с точки зрения выбранного критерия (отношение доходности портфеля к его риску). Это обуславливается тем, что в рассмотрение принято не одно конкретное значение стоимости ценной бумаги из какого-то временного интервала, а описание изменения стоимости за некоторый промежуток времени в виде треугольного нечеткого числа. Таким образом, на основании данной работы можно с определенной степенью уверенности утверждать, что применение теории нечетких чисел позволяет получить более эффективные результаты при оптимизации ПЦБ по сравнению с результатами, установленными на основе других известных методик.

Рецензенты:

Роговой А.А., д.ф.-м.н., профессор, научный сотрудник Института механики сплошных сред, г. Пермь;

Перский Ю.К., д.э.н., профессор Пермского национального исследовательского политехнического университета, г. Пермь.


Библиографическая ссылка

Севодин М.А., Козловская Я.И. ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=16913 (дата обращения: 24.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252