Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКОВ ПО СКОЛЬЗЯЩЕЙ ВЫБОРКЕ ПОСТОЯННОГО ОБЪЁМА

Крицына Н.А. 1
1 Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Решается задача идентификации параметров нестационарного линейного временного ряда. Предложен алгоритм оценки параметров регрессионной-авто-регрессионной модели по скользящей выборке посто-янного объема, который представляет собой модификацию известной рекуррентной формы метода наи-меньших квадратов. Метод позволяет не только проводить оценивание параметров модели в режиме «on-line», но и обеспечивает оценивание на основе наиболее «свежих» данных, что особенно важно при решении задач идентификации нестационарных объектов. Это достигается за счет последовательного рекуррентного удаления «устаревшей» информации и рекуррентной процедуры оценки на основе новой информации об «объекте». Приведен подробный алгоритм процедуры идентификации, основанный на предлагаемом подходе и позволяющий в режиме реального времени проводить оценку медленно меняю-щихся параметров линейного динамического «объекта», одной из разновидностей которого является нестационарный временной ряд.
нестационарный объект.
оценивание параметров модели
регрессионно-авто-регрессионная модель
рекуррентная форма
временной ряд
идентификация
алгоритм
1. Бородакий Ю.В., Крицына Н.А., Кулябичев Ю.П., Шумилов Ю.Ю. Вероятностно-статистические методы обработки данных в информационных системах. М.: Радио и связь, 2003.
2. Сейдж Э, Мелс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976.
3. Тимохин С.Г., Болотская Т.М. Вероятностные основы кибернетики (основы теории веро-ятностей). М. МИФИ, 2006.
4. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1981.
5. Эйкхофф У. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1978.
При решении широкого круга задач представления данных в виде формализованной модели, в частности такой моделью может быть временной ряд, возникают вопросы, непосредственно связанные с идентификацией параметров модели процесса в режиме реального времени. В этом случае идентификация осуществляется на основе последовательно поступающих данных. В данной работе в качестве идентифицируемого объекта используется процесс, модель которого может быть представлена линейным временным рядом в виде регрессионно-авто-регрессионного объекта:

Учитывая, что оценивание параметров регрессионного–авто–регрессионного объекта (РАР–объект), частным случаем которого является временной ряд [1], осуществляется на основе последовательно поступающих данных, наиболее привлекательными методами оценивания параметров являются рекуррентные методы оценивания [2, 5]. Основной недостаток традиционного рекуррентного подхода состоит в том, что вне зависимости от времени поступления вся накопленная информация участвует в процедуре оценивания с одинаковыми весами. Очевидно, даже при медленно меряющихся параметрах, такой подход не приемлем. Хорошо известный в настоящее время метод экспоненциального взвешивания не дает желаемых результатов, так как обладает высокой чувствительностью к выбору весового коэффициента, учитывающего степень «старения» информации. Применение методов стохастической динамической фильтрации сопряжено с необходимостью использования дополнительной информации о динамике изменения параметров временного ряда, а также информации о статистических характеристиках шумов, действующих в идентифицируемой системе. В этой связи имеет смысл рассмотреть рекуррентный алгоритм, основанный на использовании только последних N измерений.

В настоящей работе предлагается рекуррентный алгоритм оценивания параметров линейного РАР – объекта по скользящей выборке заданного объема.

Пусть РАР – объект представлен в дискретно-разностной форме

, где

 – значения «выхода» и «входа» идентифицируемого объекта в момент времени i, параметры объекта – подлежат идентификации, шум  имеет следующие статистические характеристики [3]:

,   ,  — символ Кронекера.

Оптимальная настраиваемая модель [4], обеспечивающая несмещенные, состоятельные в средне – квадратичном оценки параметров РАР–объекта имеет вид [3]:

.

Введем вектор наблюдений «входа» модели

и вектор оценок параметров

Тогда уравнение модели можно переписать в векторной форме:

.

Как отмечено выше, будем искать оценку параметров по N (N(n+(n+1)+n)) последним измерениям. Причем, на каждом шаге рекуррентного процесса добавляется l новых измерений, а l старых выводятся из процесса идентификации.

Тогда на  шаге процесса идентификации матрица «входов» U(k) может быть представлена в виде блочного объединения двух матриц:

–U0(k) – матрицы размерности [(l) x (n+(n+1)+n)], которая будет удалена на следующем k+1 шаге процесса идентификации;

– U1(k) – матрицы размерности [(N-l) x (n+(n+1)+n)], которая будет сохранена на следующем k+1 шаге процесса идентификации.

Таким образом, матрица U(k) имеет блочный вид

,

очевидно, размерность этой матрицы будет [(N) на  (n+(n+1)+n)].

С другой стороны, матрица «входов» U(k+1) на шаге k+1 также может быть представлена в виде объединения двух матриц:

 – U2(k+1)= U1(k) – матрицы размерности [(N-l) x (n+(n+1)+n)], которая сохранена с предыдущего k-того шага процесса идентификации;

 – U3(k+1) – матрицы размерности [(l) x (n+(n+1)+n)], которая будет добавлена на  k+1 шаге процесса идентификации.

В результате матрица U(k+1) будет иметь вид

  или                                         (1)

Строками матриц  являются транспонированные вектора  в соответствующие моменты времени.

Аналогичным образом можно сформировать блочные вектора «выхода» на k и k+1 шагах процесса идентификации:

 и

Вектора «выхода» имеют тот же смысл, что и соответствующие матрицы «входа».

Как известно [2,3], при использовании метода наименьших квадратов оценка параметров линейного объекта по N измерениям, с учетом введенных обозначений, на k-том и k+1-ом шагах процесса идентификации будет иметь вид:

;                                             (2)

,                      (3)

Введем вспомогательную оценку , вычисленную на основе матрицы «входа»  и вектора «выхода»

.                                 (4)

 – матрицы весовых коэффициентов соответствующих размерностей. Естественно, для существования единственности решения необходимо выполнение условия .

Обозначим

;

;

;

;

;

Используя эти обозначения, формулы для оценок (2), (3), (4) можно записать в виде:

;                                                                  (5.а)

;                                                     (5.б)

                                                                (5.в)

Учитывая, что матрицы ,  и вектор  являются блочными, и, осуществляя несложные матричные преобразования, можно получить следующие рекуррентные соотношения:

                                                     (6.а)

                                               (6.б)

или, используя соотношения (5а), последнюю формулу можно переписать в виде:

                                 (7)

Применяя известное матричное тождество для обращаемых матриц [2], выражение для матрицы  можно записать в виде:

.           (8)

Подставляя выражения (7) и (8) в формулу (5в) и произведя элементарные матричные преобразования, получим рекуррентную формулу для вспомогательной оценки

                        (9)

Повторяя аналогичные рассуждения для матрицы  и вектора , получим:

                            (10)

              (11)

Для задания начальных значений  можно воспользоваться обычной формой метода наименьших квадратов при достаточном объеме «входных» и «выходных» параметров с использованием упрощенной модели «объекта» идентификации.

Ниже приведен двухступенчатый алгоритм расчета оценок параметров . При формировании алгоритма полагали, что коррекция результатов расчета производится на каждом шаге измерительного процесса, т.е. l=1 (в этом случае номер рекуррентного процесса k совпадает с номером измерений i, пересчет оценок происходит при каждом новом поступлении данных). В дальнейшем при формировании алгоритма, в зависимости от контекста, будем использовать либо индекс i, либо индекс k. Кроме того, как уже отмечалось, необходимым условием единственности оценки является условие: .

Алгоритм

1.        Задание начальных значений         

Так как значения «выхода» модели пока неизвестны, то принимаем упрощенный вид
модели:         
 
очевидно, в данном случае имеем 2n+1 оцениваемых параметра. Следовательно, для задания начальных условий достаточно накопить 2n+1 последовательных значений «входа» и «выхода».

1.1.  Формируем матрицу «входов»  и вектор «выходов» , i=[-2n, -2n+1,…,0],
                                      ,    .     

1.2.  рассчитываем начальные значения оценок:       
                                          ,   ;

2.        Определение оценок параметров по упрощенной модели, .

2.1.            Формируем матрицу «входа» и вектор «выхода», используем при этом упрощенный вид модели: , а .

2.2.            Рассчитываем оценку  и матрицу :
         
               

2.3.            Рассчитываем значения «выхода» модели, используя её упрощенный вид. Расчет осуществляется по формуле:
 эти значения запоминаются.

2.4.            Для  выполняем рекурсию   и переходим к п.2.1

3.             Определение оценок параметров оптимальной настраиваемой модели для моментов .  На этом интервале можем использовать полный вид оптимальной настраиваемой модели:
    
однако при этом еще не достигли заданного объема скользящей выборки.

3.1.                Формируем матрицу «входа» и вектор «выхода», используем при этом полный вид модели:

.

3.2.                Рассчитываем оценку  и матрицу , используем при этом формулы, аналогичные приведенным в п. 2.2.

3.3.                Рассчитываем значения «выхода» модели: 
 эти значения запоминаются.

3.4.                            Для  выполняем рекурсию   и переходим к п.3.1.

4.             Определение оценок параметров оптимальной настраиваемой модели для моментов , т.е. достигли заданного объема скользящей выборки.

4.1.                Формируем матрицу «входа»  и вектор «выхода» , которые должны быть выведены из процесса идентификации:
.

4.2.                     Формируем промежуточные оценки параметра  и матрицы :
 

4.3.                Формируем матрицу «входа»  и вектор «выхода» , которые вводятся на текущем шаге в процесс идентификации:
        
                                                 .

4.4.                Рассчитываем оценку  и матрицу , при этом используем формулы, аналогичные приведенным в п. 2.2.

4.5.                Рассчитываем значения «выхода» модели: 
 эти значения запоминаются.

4.6.                Пока поступают новые данные «входа» и «выхода» выполняем рекурсию   и переходим к п.4.1.

5.        Конец алгоритма

Очевидно, предлагаемый рекуррентный метод оценки параметров информационных потоков, представленных в виде числовых потоков, по скользящей выборке заданного объема не дает каких – либо преимуществ в плане точности оценки и объема хранимой информации по сравнению с обычной формой метода наименьших квадратов. Однако, использование предлагаемого метода дает возможность избежать кропотливой процедуры обращения матриц. Как известно, порядок обращаемой матрицы в МНК равен числу оцениваемых параметров. При использовании предлагаемого рекуррентного метода порядок обращаемой матрицы равен числу обновленных данных l. В случае, когда пересчет параметров происходит при каждом новом поступлении данных , обращаемая матрица вырождается в скаляр.

Таким образом, использование предлагаемой модификации рекуррентной формы метода наименьших квадратов для оценки параметров формализованной модели данных позволяет устранить трудоемкую процедуру обращения матриц, с одной стороны, и учесть нестационарный вид модели, с другой.

Рецензенты:

Загребаев А.М., д.т.н., профессор, Национальный исследовательский ядерный университет, г.Москва;

Кулябичев Ю.П., д.т.н., профессор, Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ), г. Москва.



Библиографическая ссылка

Крицына Н.А. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКОВ ПО СКОЛЬЗЯЩЕЙ ВЫБОРКЕ ПОСТОЯННОГО ОБЪЁМА // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=16420 (дата обращения: 12.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074