Необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка связана с тем, что многие проблемы теории фильтрации жидкости во фрактальной среде, фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин приводят к дифференциальным уравнениям дробного порядка. Дробные производные применяются при описании физических процессов стохастического переноса, изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов. Численным методам решения уравнения диффузии дробного порядка в многомерных областях посвящены работы [3, 8]. Задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, рассмотрены в [4]. В работе [7] построена локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В [2] рассмотрен случай многомерной задачи и построена локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границах области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УСТОЙЧИВОСТЬ
В области 
рассматривается краевая задача для обобщенного уравнения диффузии с сосредоточенной теплоемкостью вида:
, (1)
(2)
, 
, (3)
где коэффициенты удовлетворяют условиям 
; 
; 
; 
, 
– регуляризованная производная дробного порядка 
[6].
Для доказательства устойчивости решения задачи (1)-(3) будем пользоваться методом энергетических неравенств. После умножения уравнения (1) скалярно на 
получаем энергетическое тождество:
, (4)
где 
, норма 
.
Для второго скалярного произведения в правой части (4), интегрируя по частям с учетом краевых условий (2), будем иметь:
. (5)
Используя лемму 1 ([1], стр. 152) и учитывая условия на коэффициенты и 
, из (5) получим:
.
Для третьего интеграла в энергетическом тождестве (4) с учетом условия 
запишем:
.
Последнее скалярное произведение в тождестве (4) оценим с помощью 
-неравенства. Для 
будем иметь:
.
С учетом полученных неравенств из (4) имеем:
. (6)
Интегрируя (6) по 
от 0 до 
, получаем:
.
Пренебрегая положительным интегралом, получаем неравенство:
. (7)
Обозначим в последнем неравенстве 
и потребуем, чтобы 
. Будем иметь:
. (8)
Применяя лемму 1 для нестационарных задач ([1], стр. 152), из последнего получим:
, (9)
где 
– положительная величина, зависящая от коэффициентов уравнения и размеров области 
. Из априорной оценки (9) следует устойчивость решения задачи (1)-(3) по входным данным задачи, а также его единственность.
2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА
В замкнутой области 
строится сетка 
, где 
– шаг сетки 
по переменной 
, 
– шаг сетки 
по переменной , 
, 
; 
– число разбиений по переменной ; 
– число разбиений по переменной 
.
Для задачи (1)-(3) построена разностная схема:
(10) 
, 
(11)
, 
(12)
, 
, 
(13)
Здесь 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
– разностный аналог дробной производной 
, и в классе достаточно гладких функций справедливо равенство 
[9].
3. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
Для доказательства устойчивости разностной схемы (10)-(13) используем принцип максимума. Для этого схему приводим к каноническому виду [5]:
(14)
где 
– связная сетка; 
– окрестность узла 
, не содержащая самого узла 
. Для коэффициентов (14) должны выполняться условия:
(15)
Расписав (10) в индексной форме с учетом 
в точке 
получим:
. (16)
Сравнивая (16) с (14), видим:
, 
, 
.
Так как по условию 
, то
, 
, 
(17)
Здесь 
.
В точке
, расписывая (11) в индексной форме, будем иметь:
. (18)
Ввиду условий 
,
, 
имеем:
, , 
. (19)
Аналогично, в точке 
для граничного условия (12) имеем:
. (20)
С учетом условий 
,
, 
имеем:
, , 
. (21)
Из неравенств (17), (19), (21) на основании теоремы 3 [5] для задачи (10)-(13) верна оценка:
, (22)
из которой следует устойчивость решения разностной схемы (10)-(13).
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М. Х., д.ф.-м.н., профессор ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.