Задача о притоке реального газа к несовершенной скважине при нелинейном законе фильтрации является весьма сложной и до сих пор не получила точного аналитического решения. В работах Е.М. Минского, А.Е. Хейна, Г.А. Зотова, С.М. Тверковкина и др. рассматривалась данная задача в приближенной постановке. Здесь рассматривается задача о притоке реального газа к несовершенной скважине в однородно-анизотропном пласте, т. е. с учетом анизотропии, а также предлагается несколько иной подход к расчету фильтрационных сопротивлений, обусловленных несовершенством скважины по степени вскрытия.
В работе Е.М. Минского [1] показано, что коэффициент фильтрационного сопротивления как при линейном, так и при квадратичном законе фильтрации зависит только от геометрии потока. В связи с этим к выводу уравнения притока газа можно подойти следующим образом. Для нелинейного закона фильтрации имеем уравнение
(1)
где
– плотность газа.
Геометрия потока, очевидно, будет определяться функцией 
в области пространственного потока 
(рисунок 1). Вся трудность решения состоит в нахождении уравнения кривой , ограничивающей область потока, или, другими словами, уравнения линии тока. Размер зоны пространственного движения будет зависеть от многих факторов, например, не только от геометрии пласта (
, 
, 
), но и от анизотропии пласта æ*, дебита 
, градиента давления (
) и т. д. Следуя И.А. Чарному [5], примем радиус зоны пространственного притока 
. Будем аппроксимировать упомянутую линию тока уравнением вида [4]
(2)
где
– некоторая функция, зависящая от несовершенства скважины по степени вскрытия, геометрии пласта и скважины, анизотропии пласта.
Рис.1. Двухзонная схема притока газа к несовершенной скважине при нелинейном законе фильтрации
Умножая левую и правую части уравнения (1) на 
, применяя двухзонную схему притока (см. рисунок 1), учитывая уравнение состояния реального газа, уравнение (2) и интегрируя в соответствующих пределах по давлению и радиусу, после некоторых преобразований получаем известную двучленную формулу притока:
(3)
где
(4)
(5)
; 
(6)
; 
. (7)
Выражение для 
представляется сложной функцией, выраженной суммой рядов от 1 до 
и зависящей от параметров 
и 
[4], где
; 
; 
. (8)
Коэффициент фильтрационного сопротивления 
, обусловленный относительным вскрытием пласта 
, определяется формулой [2]
(9)
где
– некоторая функция, связанная с распределением потенциала скорости фильтрации, вызванного работой несовершенной скважины, рассчитана на ЭВМ, затабулирована и представлена графиками (рисунок 2).
Из совместного решения (6) и (9) определена функция 
, рассчитана на ЭВМ, затабулирована в широком диапазоне параметров и представлена графическими зависимостями (рисунок 2). При найденных значениях 
функция 
, также была рассчитана на ЭВМ в широком диапазоне параметров и затабулирована.
Рис.2. Зависимость функции , связанной со средним значением потенциала скважины, от относительного вскрытия пласта
Методика расчета безводных дебитов в случае притока реального газа к несовершенной скважине по нелинейному закону фильтрации при наличии подошвенной воды рассматривалась в работе [6]. Однако сама задача о предельных безводных дебитах в точной постановке не решена из-за того, что не известно уравнение границы раздела двух жидкостей при наличии конуса подошвенной воды.
Приведем приближенное решение этой задачи, используя приближенное уравнение границы раздела, когда конус воды находится в предельно-устойчивом положении [2]:
; 
; 
(10)
где
– безразмерный предельный безводный дебит, определяемый по известным формулам, графикам или таблицам [2].
Переменная толщина пласта, ограничивающая область пространственного притока, как это следует из (10), выражается формулой вида
. (11)
Умножая левую и правую части уравнения (1) на 
, учитывая, что объемный предельный дебит Q=Q0q(ρ0,) и (11), получаем формулу притока, выраженную через предельный безразмерный дебит, из которой легко определить предельную депрессию 
(12)
После интегрирования и некоторых преобразований уравнение притока примет вид (3), где A и В определяются по формулам (4) и (5), в которых коэффициенты представляются выражениями:
; 
; (13)
; (14)
где
– коэффициент за счет перфорации,
– интегральный логарифм, который связан с интегральной показательной функцией 
зависимостью
. (15)
При 
>1 интеграл (15) расходится в точке 
=1. В этом случае представляет значение несобственного интеграла.
Заметим, что из полученных формул притока для несовершенной скважины как частный случай вытекают формулы для линейного закона фильтрации.
Пример: Скважина работает при наличии устойчивого положения границ раздела. Исходные данные R0=1000 м; æ*=1; rс=0,1 м; h0=10 м; b=4 м. Тогда имеем следующие безразмерные параметры: ρ0=100; =0,4; =104. Требуется определить фильтрационные сопротивления, обусловленные наличием конуса воды.
По графикам [3] определяем безразмерный предельный безводный дебит: q(ρ0,
)=q(100;0,4)≈0,4. По формуле (13) находим ≈2,3 и по формуле (15) подсчитываем С2≈2,9. Как видим, значения и С2 оказались сравнительно небольшими, это объясняется тем, что предельный безводный дебит очень мал, а он и определяет геометрию потока, т. е. форму конуса подошвенной воды. После чего предельная депрессия легко подсчитывается по формуле (12).
Рецензенты:
Грачев С.И., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», Институт геологии и нефтегазодобычи, ФГБОУ ВПО ТюмГНГУ, г. Тюмень;
Леонтьев С.А., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», Институт геологии и нефтегазодобычи, ФГБОУ ВПО ТюмГНГУ, г. Тюмень.