В настоящей работе будем изучать численный метод решения
задачи 
(1)
(2)
где 
- оператор Штурма-Лиувилля, 
- фиксированная точка интервала (0,1).
В начале установим условия однозначной разрешимости задачи (1), (2).
Теорема 1. Пусть 
, 
и функция 
такова, что
для всех 
. (3)
Тогда решение задачи (1),(2) существует
единственно и принадлежит классу 
.
Пусть 
- решение задачи
(4)
а 
- решение задачи
. (5)
В
работе 
методом функции Грина 
показано, что необходимым и достаточным
условием однозначной разрешимости задачи (1), (2) является условие
(6)
при этом
решение 
представляется через функции и 
в
виде
(7)
Покажем,
что условие (3) обеспечивает выполнение (6), т.е. является достаточным условием
однозначной разрешимости задачи (1), (2). В силу непрерывности и 
, (3)
означает, что либо 
, либо 
для всех . Введём
обозначение
(8)
и получим
нижнюю оценку выражения 
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть . Получим верхнюю
оценку наибольшего значения 
функции на отрезке
.
Пусть 
- точка максимума . Из равенства
(9)
в силу 
следует:
. (10)
Если
наибольшее значение достигается на одном из концов
отрезка, то переходя к пределу при 
в (9), получим оценку (10). Тогда
(11)
2. Пусть . В этом случае
получаем нижнюю оценку наименьшего значения 
функции
на отрезке : 
откуда находим
(12)
Далее будем считать, что выполнены условия А:
, 
.
Теорема 2.
Если 
удовлетворяют
условию А и выполнено (3), то решение задачи (1), (2) принадлежит классу 
.
Для
численного решения задачи (1), (2) на отрезке введём
равномерную сетку 
. Шаг сетки 
выберем меньше половины длины меньшего
из отрезков 
.
Номер 
выберем из
условия 
.
Проекции
решений задач (1)-(2), (4), (5) на сетку 
обозначим
соответственно.
Пусть сеточная функция 
-
решение конечно-разностной задачи
, (13)
а
сеточная функция 
- решение конечно-разностной
задачи
,
(14)
где
(15)
Введём обозначения:
(16)
(17)
и в
качестве приближённого решения задачи (1), (2) на сетке 
выберем
сеточную функцию 
:
. (18)
Теорема 3.
Пусть выполнены условия А и (3). Тогда сеточная функция 
, определённая по формуле (18), сходится
при 
к решению задачи
(1), (2) со вторым порядком точности по шагу 
в
равномерной метрике.
Доказательство теоремы 3 будет заключаться в получении априорной оценки
, (19)
где 
- положительная
постоянная, не зависящая от . Пользуясь
представлением (7) решения , получаем:
=
. (20)
Оценим
слагаемые в правой части (20). Как известно 
,
конечно-разностные схемы (13) и (14) сходятся к решениям, соответственно, дифференциальных
задач (4) и (5) с порядком O(h2).
Следовательно, существуют положительные постоянные 
и 
, что
,
(21)
Значения
и 
аппроксимируются
и 
с
точностью 
,
следовательно, существуют положительные числа 
и 
, не зависящие от , что
. (22)
Для задачи (4) известна априорная оценка
(23)
Из
априорной оценки 
, с
учётом (10), находим:
(24)
Получим
нижнюю оценку выражения 
Пусть
. В этом случае, в силу (15), 
Оценим сверху максимальное значение 
функции 
. Если
где 
, то в
силу 
из
уравнения (14) получаем оценку 
. Если 
то из левого краевого условия (14) следует
оценка 
. Если 
то из
правого краевого условия (14) следует оценка 
. Тогда
.
Пусть
. В этом случае минимальное значение 
функции на сетке
имеет оценку: 
,
где 
и, следовательно:
Таким образом, при условии (3)
(25)
Применяя оценки (11), (12), (21)-(25), из (20) получаем:
, (26)
где 
.
Из (26) следует утверждение теоремы 3.
При 
выражения 
, 
в
силу принципа максимума для задач (5) и (14) соответственно. В этом случае
остаются в силе все изложенные выше результаты, и, как следует из (26), 
. Эти результаты аналогичны результатам,
полученным в работе 
.
При 
может наблюдаться
неустойчивость решения задачи (1), (2), в частности если 
близко к 
во
всех точках 
настолько, что 
,
то 
, то есть предложенный алгоритм может
оказаться не пригодным для решения задачи (1), (2) с требуемой точностью. Выход
в этом случае может состоять из решения задач (4) и (5) с более высоким
порядком точности, а также в аппроксимации соответствующего порядка значений и 
.
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет им. В.М. Кокова», г. Нальчик.