В современном обществе развитые исследовательские способности человека рассматриваются уже не как узкоспециальные личностные умения, требующиеся для небольшой профессиональной группы научных работников, а как неотъемлемая характеристика личности, входящая в структуру представлений о профессионализме и компетентности в любой сфере деятельности человека. Именно поэтому от современного образования требуется уже не простое фрагментарное включение методов исследовательского обучения в образовательную практику, а целенаправленная работа по развитию исследовательских способностей, специально организованное обучение школьников умениям и навыкам исследовательского поиска. Что, в свою очередь, требует от методической науки концептуального и технологического переосмысления того, как, каким образом можно организовать образовательное пространство в обучении математике так, чтобы для школьников способы исследования по математике стали предметом освоения. Решение этого вопроса предполагает введение в методическую систему обучения математике дополнительной компоненты «формирование исследовательской деятельности школьников по математике».
Очевидно, что введение этой компоненты меняет характер учебно познавательной деятельности школьников, а вслед и методы освоения учебного материала. Поэтому, задача об определении места исследовательской деятельности в системе методов достижения основных образовательных результатов (формирования математических понятий, обобщения и систематизации изученного, обучения методам математики и пр.), являясь частью основной проблемы - становится актуальной.
В рамках статьи мы остановимся на основных результатах решения обозначенной проблемы. В этой связи будет уместно пояснить некоторые принципы, на которые мы опирались в исследовании.
1. Структуру метода математики можно описать тремя иерархированными уровнями.
В контексте современных методологических представлений о системном исследовании, содержание метода математики определяется не просто как само действие, и не вид, и не способ деятельности, а, скорее, это предписание как действовать, указание к целесообразному действию в процессе познания объектов математики.
Правила и предписания, в свою очередь, отражают законы существования познаваемого или преобразуемого объекта. Это значит, что способ познания всегда направлен на объект познания, то есть, с любым методом всегда соотносят объект познания. Следовательно, метод как способ познания несет в себе две функции: методологическую - как действовать, и регулятивную - почему так действовать (познаваемый объект определяет направленность действий).
Регулятивная функция метода обращена к гносеологической природе метода и означает, что метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого объекта. Эти две функции взаимосвязаны и одна без другой не существуют, следовательно, метод, представляет собой иерархированную систему, структуру которого можно описать в виде трёх уровней: гносеологического, методологического и уровня связей между ними.
На гносеологическом уровне существует определенная система информации: об объекте, его свойствах (основные понятия, свойства понятий, связи между ними), о преобразованном исходном объекте, о сфере приложения и использования.
На методологическом уровне находятся определенная система действий и средства осуществления деятельности на основе системы действий (интеллектуальные, практические, предметные).
Связи между гносеологическим и методологическим уровнями обеспечиваются за счет логического развертывания содержания гносеологического уровня средствами методологического уровня и наоборот (содержание методологического уровня развертывается средствами гносеологического уровня). Значит, содержание уровня связей определяется логической компонентой метода (способы и правила вывода, способы доказательства, опровержения и пр.).
2. Освоение метода математики проходит поэтапно посредством освоения содержания каждого из уровней.
Безусловно, определение хотя бы общих положений концепции обучения методам математики в условиях формирования исследовательской деятельности требует решения двух основных задач. Первая состоит в определении средств обучения школьников методам математики в зависимости от степени владения методом. Вторая заключается в описании методических условий использования учебных исследований в процессе обучения учащихся методам математики.
И первая, и вторая задачи требуют решения ещё двух подзадач: определения этапов формирования методов математики на каждом уровне, их содержания и выявления места исследовательской деятельности на каждом из этапов обучения методам математики.
В психолого-педагогических исследованиях под осознанным усвоением знания (в нашем случае, это знание о методе математики) понимают превращение объективной информации о математическом объекте в субъективные ментальные структуры, существующие внутри опыта человека в качестве психических новообразований [2, 3, 5]. Очевидно, что усвоение информации и способов деятельности по её использованию не является одномоментным актом. Этот процесс разворачивается постепенно и проходит определенную последовательность этапов от фрагментарного до логически обобщенного понимания информации, который может продолжаться, по мнению Л.С. Выготского, всю жизнь. Следовательно, появление тех или иных психических новообразований на уровне обучения в школе отследить достаточно сложно.
Отправной точкой анализа представлений об осознанном владении методом математики учащимися послужила, во-первых, структурная модель метода, каждый уровень которой представляет собой логически упорядоченную и систематизированную информацию, и которая преобразуется в знание о методе в процессе её усвоения. Во-вторых, признание того, что информация усваивается в ходе деятельности по её применению. В-третьих, уровневая дифференциация освоения математической информации.
В психолого-педагогической и методической литературе существуют различные точки зрения на классификацию уровней усвоения учебного материала: с позиций достижения цели; с позиций отражения движений ученика к цели; с позиций интеллектуальных операций, необходимых для достижения цели и др. Однако, в нашей ситуации, ни одна из предложенных моделей не отражает реального результата процесса освоения метода математики. Полагаем, что основной задачей в описании этапов освоения метода математики (или то же самое: этапов образования представлений о методе математики) является выявление интеллектуальных действий, выполняемых учащимися, которые поддаются объективному наблюдению. Далее. Так как метод математики имеет трёхплоскостную структуру - целесообразно связать этапы освоения метода с качеством освоения каждого уровня метода.
Опираясь на исследования А.Н. Леонтьева [1], мы выделили этапы освоения метода[4]: ознакомительный, категоризации, систематизации, использования, применения.
На каждом из этапов нами выявлены умения, которыми должен владеть ученик на каждом из уровней метода.
На ознакомительном этапе: 1) на гносеологическом уровне ученик должен уметь выполнять решение предметной задачи на основе изучаемого метода с помощью образца, предписаний, указаний учителя; 2) на методологическом уровне ученик должен уметь выполнять действия по образцу, на основе предписаний; 3) уровень связей между двумя предыдущими уровнями - отсутствует. На этом этапе у школьника только формируется образ представление о методе и степень понимания метода - фрагментарна. Следовательно, на ознакомительном этапе проводить полноценное исследование с использованием изучаемого метода - не возможно. На этом этапе уместно включать учебные задания на поиск закономерностей в задачах, на поиск свойств рассматриваемых объектов математики, на схематизацию в записи задачи, на обоснованность и полноту доказательства и др.
На этапе категоризации: 1) на гносеологическом уровне ученик должен уметь выполнять решение предметных задач по аналогии с теми, которые были использованы при объяснении; 2) на методологическом уровне ученик должен уметь строить алгоритмы действий, предписания к задачам которые использовались в объяснении материала; 3) на уровне связей должен уметь с помощью учебных заданий выделить логические связи метода. На этом этапе у школьника формируется предпонятие о методе, происходит своеобразное обогащение его представлений о методе. Степень понимания гносеологического и методологического содержания находится в начальной стадии логического обобщения. А вот знания уровня связей - фрагментарны и не встроены в систему знаний. Следовательно, на этом этапе можно включать учебные задания с элементами исследования: на чтение математических текстов, содержащих верные и неверные решения, на выявление причинно-следственных связей между свойствами объекта, на моделирование аналоговой ситуации, на поиск новых зависимостей, на формулирование свойств и признаков и др.
На этапе систематизации: 1) на гносеологическом уровне ученик должен уметь привести пример задачи, в которой используется новый метод; уметь переносить знание на решение задачи с измененным условием (можно использовать инструкции); 2) на методологическом уровне ученик должен уметь привести пример задачи, в которой используются известные приемы, алгоритмы; уметь переносить известные алгоритмы действий на решение задачи с измененными условиями; 3) на уровне связей должен уметь проследить или построить логическую схему решения математической задачи. На этом этапе представления о методе становятся более осмысленными, ученик проходит этап переноса метода решения однотипных задач в новую ситуацию. Степень понимания содержания метода характеризуется логически обобщённым пониманием содержания первых двух уровней и логически необобщённым пониманием уровня связей. Это как раз тот уровень, когда ученик, к примеру о методе математической индукции говорит: «метод знаю, а доказать неравенство или тождество с его помощью - не могу». Поэтому, на этапе систематизации уместно включать задания на построение контрпримеров, на поиск нарушенных логических связей, на опровержение или обоснование правильности предложенных доказательств и др.
На этапе использования: 1) на гносеологическом уровне ученик должен уметь использовать знание в новой ситуации; 2) на методологическом уровне ученик должен уметь использовать действия и алгоритмы метода в новой ситуации; 3) на уровне связей должен уметь применить логические схемы в новой ситуации самостоятельно или с помощью учебных заданий. Первые два уровня (гносеологический и методологический) находятся в стадии свёртывания. То есть знания о методе, проходят этап своеобразного встраивания в систему знаний по математике - логически обобщаются. Однако на уровне связей - процесс свёртывания ещё не закончен, идёт стадия обогащения. На этом этапе уместны небольшие учебные исследования на использование изучаемого метода с разного уровня предпочтениями учащихся: исследования реферативного характера, практического, теоретического.
На этапе обобщения: 1) на гносеологическом уровне умеет применять метод в получении нового знания или в исследовании объекта математики: 2) на методологическом уровне умеет применять действия для открытия нового знания, для исследования объекта математики; 3) на уровне связей умеет использовать правила и способы развёртывания метода в новой ситуации. Это заключительный этап формирования представлений о методе, следовательно, представления о методе логически обобщены и встроены в систему знаний учащегося, поэтому он может оперировать этим знанием свободно. Поэтому на этом этапе уместно привлекать учащихся к самостоятельным учебным исследованиям по математике.
Полученные результаты представлены в таблицах 1, 2.
Таблица 1
Этапы формирования методов математики
|
№ п/п |
Этапы освоения метода |
Деятельность ученика на гносеологическом уровне(ГУ), методологическом уровне (МУ), уровне связей (УС) |
Этап образования представлений о методе |
Степень понимания содержания метода |
|
1 |
Ознакомительный |
ГУ: Умеет выполнить решение задачи по использованию изучаемого метода с помощью образца, предписаний, указаний учителя. МУ: Умеет выполнять действия по образцу, на основе предписаний. |
Образ-представление |
Фрагментарное |
|
УС: отсутствует
|
Отсутствует |
Отсутствует |
||
|
2 |
Категоризации |
ГУ: Решает задачи по аналогии с теми, которые были использованы в объяснении МУ: Умеет строить алгоритмы действий, предписания к задачам которые использовались в объяснении материала |
Предпонятие о методе. Этап обогащения |
Логически необобщенное понимание |
|
УС: Умеет с помощью учебных заданий выделить логические связи метода |
Образ-представление |
Фрагментарное |
||
|
3 |
Систематизации |
ГУ: Умеет привести пример задачи, в которой используется новый метод. Умеет переносить знание на решение задачи с измененным условием (можно использовать инструкции) МУ: Умеет привести пример задачи, в которой используются известные приемы, алгоритмы. Умеет переносить известные алгоритмы действий на решение задачи с измененными условиями |
Этап переноса метода решения однотипных задач в новую ситуацию |
Логически обобщенное понимание |
|
УС: Умеет проследить или построить логическую схему решения математической задачи |
Этап обогащения |
Логически необобщенное понимание |
||
|
4 |
Использования |
ГУ: Умеет использовать знание в новой ситуации МУ: Умеет использовать действия и алгоритмы метода в новой ситуации |
Этап свёртывания знаний о методе |
Логически обобщенное понимание |
|
УС: Умеет применить логические схемы в новой ситуации самостоятельно или с помощью учебных заданий |
Этап обогащения |
Логически необобщенное понимание |
||
|
5 |
Обобщения |
ГУ: Умеет применять метод в получении нового знания или в исследовании объекта математики МУ: Умеет применять действия для открытия нового знания, для исследования объекта математики |
Этап оперирования свёрнутым знанием о методе |
Логически обобщенное понимание |
|
УС: Умеет использовать правила и способы развёртывания метода в новой ситуации |
Этап свёртывания знаний о методе и оперирования свёрнутым знанием о методе |
Логически обобщенное понимание |
Таблица 2
Содержание исследовательской деятельности ученика на каждом из этапов формирования метода математики
|
№ п/п |
Этапы освоения метода |
Содержание исследовательской деятельности ученика на каждом уровне метода математики
|
Роль учебного исследования в образовании представлений о методе |
Содержание учебного исследования (УИ) в формировании степени понимания метода |
|
1 |
Ознакомительный |
ГУ: Умеет провести анализ решения предложенного образца МУ: Умеет составить схему к решению задачи |
Формирующая образ-представление |
УИ на схематизацию записи решения, на поиск закономерностей в задаче, на поиск свойств и признаков объектов математики, на составление алгоритма действия |
|
УС: Умеет выстроить соответствия между образцом, предписанием и предложенной задачей |
Связующая |
|||
|
2 |
Категоризации |
ГУ: Решает задачи исследовательского содержания аналогичные изученным МУ: Умеет выделить общее в задачах |
Формирующая |
УИ на схематизацию записи решения, на поиск закономерностей в задаче, на поиск свойств и признаков объектов математики
|
|
УС: Умеет с помощью учебных заданий выделить логические связи метода |
Формирующая |
|||
|
3 |
Систематизации |
ГУ: Умеет самостоятельно проводить учебное исследование на поиск зависимостей свойств объекта МУ: Умеет выделить содержание метода, используемого в исследовании |
Систематизирующая |
УИ на использование метода в исследовании |
|
УС: Умеет построить логику исследования |
Обогащающая |
|||
|
4 |
Использования |
ГУ: Умеет самостоятельно проводить УИ МУ: Умеет выделить содержание метода, используемого в исследовании |
Систематизирующая |
УИ на использование метода в исследовании |
|
УС: Умеет применить логические схемы в новой ситуации самостоятельно или с помощью учебных заданий |
Обогащающая |
|||
|
5 |
Обобщения |
ГУ: Умеет применять метод в получении нового знания или в исследовании объекта математики МУ: Умеет применять действия для открытия нового знания, для исследования объекта математики |
Развивающая |
УИ на использование метода в исследовании |
|
УС: Умеет использовать правила и способы развёртывания метода в новой ситуации |
Развивающая |
Предложенный подход в определении роли и места учебного исследования в обучении методам математики позволяет, во-первых, уйти от фрагментарного включения методов исследовательского обучения в образовательную практику и технологизировать учебный процесс. Во-вторых, позволяет индивидуализировать процесс обучения посредством выстраивания личностно значимой образовательной траектории.
Рецензенты:
Жафяров А.Ж., д.ф.-м.н., заведующий научной лабораторией профильного образования Новосибирского государственного педагогического университета, г. Новосибирск.
Асланов Р.М., д.п.н., к.ф.-м.н., профессор, Московский государственный педагогический университет, г. Москва.