Введение
Известный эффект усиления акустических возмущений в зоне горения вызывает формирование характерной ячеистой структуры газовой детонации. Данная неустойчивость необходима для детонационного режима, поскольку самоподдерживающиеся одномерные детонационные волны не наблюдаются. Для газовой детонации диссипация, связанная с вязкостью и теплопроводностью среды, слаба и не оказывает влияния на ячеистую структуру волны. Мелкие химически инертные твердые частицы, добавляемые в реакционно способную газовую смесь, могут заметно снижать скорость детонационной волны [10]. Это объясняется потерями энергии на ускорение и нагрев частиц. При достаточно высокой концентрации дисперсной фазы детонационный режим невозможен [8, 10]. Критическое значение массовой концентрации твердой фазы зависит от размера частиц. С уменьшением размера эффект ослабления детонации возрастает. Увеличение удельной межфазной поверхности означает интенсификацию обмена импульсом и теплом, т.е. повышение потерь энергии волны. Этот механизм может быть описан в рамках одномерной модели без учета неустойчивости пространственной структуры волны. Если частицы очень малы (характерное время установления равновесия по скоростям и температурам фаз намного меньше времени реакции), то потери энергии приближаются к максимальному уровню и не должны зависеть от размера частиц: суспензия квазиравновесна (температуры и скорости фаз одинаковы почти во всей зоне реакции). В то же время расчеты демонстрируют существенное влияние диаметра частиц на двумерный детонационный режим даже для очень мелких частиц [8]: детонационный фронт становится гладким, поперечные волны ослабляются, и размер ячейки увеличивается. Предложенное объяснение [9] основано на факте сильного увеличения диссипативных эффектов в квазиравновесной суспензии. Диссипация энергии акустических возмущений за счет межфазного обмена импульсом может в 100–1000 раз превышать диссипацию в чистом газе. Это может обеспечивать устойчивость возмущений с длиной волны порядка характерного масштаба детонационной ячейки [4]. Как следствие, детонационный режим может быть подавлен (будет наблюдаться срыв детонации).
В работе [7] выведено нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение волн малой, но конечной амплитуды в однофазной газовой среде с неравновесным экзотермическим процессом; получено решение в виде одномерной самоподдерживающейся уединенной автоволны. Согласно [2,3,5,7], для длинных волн модель может быть сведена к эволюционному уравнению типа уравнения Бюргерса с «отрицательной вязкостью». Это означает неустойчивость и усиление возмущений, длина волны которых определяется отношением между тепловыделением и диссипацией энергии. Слабая диссипация в газовой среде оказывает влияние на возмущения с длиной волны, намного меньшей масштаба реакции.
Аналогичная задача для газовзвеси рассмотрена в работе [9]. Получены аналитические результаты для двух предельных случаев: а) мелкие частицы (квазиравновесие фаз); б) крупные частицы. Было показано, что зависимости диссипации от размера частиц в этих случаях существенно различаются. В первом случае характерные времена установления равновесия скоростей и температур фаз намного меньше, чем период возмущений (и время реакции). Масштаб доминирующего неустойчивого возмущения при этом может значительно измениться по сравнению с чисто газовой средой. Для крупных частиц (т.е. для высокочастотных возмущений) период доминирующей неустойчивости приблизительно тот же, что и в чистом газе. Это обусловливает различие влияния мелких и крупных частиц на пространственную структуру зоны реакции.
Основываясь на подходах, указанных выше, в настоящей работе представлен анализ возможности подавления акустических возмущений, масштаб которых сравним с длиной зоны реакции, за счет высокой диссипации энергии в квазиравновесной взвеси инертных твердых частиц в реагирующей газовой смеси.
Постановка задачи
Проанализируем распространение плоских возмущений в неограниченной газовзвеси, содержащей в единице объема m химически инертных твердых частиц с радиусом r1 = const и плотностью ρ1 = const. В отсутствие возмущений скорость каждой из фаз равна нулю. Твердая фаза занимает малую долю объема среды 
. Это позволяет пренебречь взаимодействием частиц, а также парциальным давлением и вязкостью облака частиц. Будем предполагать, что длина волны возмущения намного превосходит среднее расстояние между частицами. Соответственно, будем использовать модель однородной двухкомпонентной неравновесной смеси (учитывая различие скоростей и температур фаз). Массовая скорость u, плотность ρ, давление p, температура T и удельная энтропия S газа являются величинами, осредненными по объему, содержащему большое количество частиц. Возмущения имеют малую амплитуду: 
, где 
, 
, 
, 
, ε – малый параметр. Индекс 0 обозначает невозмущенное состояние среды, Cf – адиабатическая скорость звука в газе, индекс f означает условие Y = const (т.е. высокочастотные возмущения, относительно которых реакция «заморожена»), Y – массовая доля продуктов реакции. Уравнения неразрывности и сохранения импульса (без учета гравитации) для каждой из фаз имеют вид:
(1)
(2)
(3)
(4)
где u1 – возмущение скорости облака частиц, ν – кинематическая вязкость газа, 
– сила сопротивления облака частиц в единице объема. Если радиус r1 достаточно мал, то характерное время изменения относительной скорости фаз 
намного меньше, чем величина 
. Следовательно, первое слагаемое (сила Стокса) является определяющим в выражении для f, и можно пренебречь вторым и третьим слагаемыми. Сила сопротивления Стокса вызывает изменение скорости частиц с характерным временем 
. Ограничивая анализ случаем низкочастотных возмущений, подставим 
в уравнения (3) и (4). Тогда из (4) получим:
(5)
Неравновесная химическая реакция в газовой фазе (предварительно перемешанные реагенты) характеризуется объемной скоростью производства продуктов реакции ω и удельным тепловыделением Q. Представим реакцию в форме одноступенчатого превращения «реагенты → продукты реакции» с кинетическим уравнением общего вида:
(6)
Закон сохранения энергии с учетом термодинамических соотношений может быть представлен в форме уравнения для производства энтропии газа:
, (7)
где s – производство энтропии за счет внутреннего трения в газовой фазе, оно пропорционально 
, 
– удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, c – температуропроводность газа, 
– удельное количество тепла, передаваемое частицам в единицу времени, тепловой поток на поверхности отдельной частицы 
определяется из решения задачи о центрально-симметричном распределении температуры 
в твердом шаре с радиусом r1, плотностью r1, температуропроводностью c1 и удельной теплоемкостью c1 с граничным условием 
и начальным условием 
[9]. Для длинноволновых возмущений характерное время тепловой релаксации частицы 
гораздо меньше, чем характерное время изменения температуры (периода возмущения). В этом случае 
, где 
.
Уравнение состояния газа с химической реакцией запишем в общем виде:
, или: 
Используя уравнения (6) и (7), уравнение состояния можно преобразовать, пренебрегая членами 
, к следующему [7]:
(8)
где 
, 
, 
, 
. С помощью уравнений (6)-(8) тождество 
может быть представлено в форме:
(9)
где 
– характерное время реакции, 
– скорость распространения низкочастотных возмущений в реагирующем газе.
Результаты исследования устойчивости
Все величины в уравнениях (1), (3), (5) и (9) приведем к безразмерной форме с помощью параметров 
. Рассмотрим распространение возмущений в одном направлении, введя сопровождающую систему координат
, движущуюся со скоростью 
. Профиль возмущения медленно изменяется в этой системе отсчета: 
. При 
из уравнения (5) получим: 
[9]. После исключения переменных можно записать линейное уравнение для одной переменной 
:
(10)
где 
, 
, γ – показатель адиабаты газовой смеси.
Решение уравнения (10) можно представить в форме суперпозиции гармоник 
и получить дисперсионное соотношение:
(11)
Для высокочастотных (относительно 
) возмущений: 
. В данном предельном случае дисперсионное соотношение описывает затухание возмущений за счет диссипации в двухфазной среде, тепловыделение не влияет на динамику возмущений. Скорость распространения возмущений в двухфазной среде отличается от адиабатической скорости звука в газе: 
.
В случае низкочастотных возмущений 
дисперсионное соотношение учитывает влияние химической реакции:
(12)
Коэффициенты в уравнении (12) могут изменять знаки. Если выполнен критерий 
, то бесконечно малые возмущения нарастают за счет преобладания тепловыделения над диссипацией (см. рис. 1). Скорость распространения низкочастотных возмущений отличается от 
на величину
, которая определяется кинетикой реакции.
Рис. 1. Инкремент возмущений при условии 
: чистый газ, 
(пунктирная линия) и газовзвесь с мелкими частицами, 
(сплошная линия)
Из соотношения (11) можно найти значение волнового числа 
наиболее неустойчивого возмущения, а также критическое волновое число 
, разделяющее устойчивые и неустойчивые гармоники: 
Обсуждение и выводы
Для чистого газа характерна слабая диссипация энергии возмущений: 
. Здесь для оценки приняты значения: 
с, 
м/с, вязкость и температуропроводность 
м2/c. Для детонации характерное значение тепловыделения: 
. Тем самым, в газовой среде 
и 
м. Такое значение 
намного меньше характерного масштаба зоны реакции и размера ячейки 
м, и соответственно, диссипация не влияет на пространственную структуру детонационной волны [1, 6].
В квазиравновесной газовзвеси 
, если 
м, 
, 
. Следовательно, 
и 
. Это означает, что диссипация в газовзвеси с мелкими инертными твердыми частицами может оказывать существенное влияние на пространственную структуру детонации. Подавляя неустойчивость, высокая диссипация приводит к ослаблению поперечных волн и способствует срыву детонационного режима.
Наряду с эффективным подавлением акустических возмущений, мелкие частицы в меньшей степени возмущают поток газа (по сравнению с крупными частицами), поскольку возмущения с масштабом 
м быстро затухают даже в чистом газе.
При распространении детонации в покоящейся среде на некотором расстоянии за ударным фронтом волны (при достаточно высоком значении соответствующего числа Рейнольдса) происходит переход от ламинарного к турбулентному пограничному слою. В ядре потока в зоне реакции тоже возникают турбулентные пульсации, если число Рейнольдса превышает критическое значение. Можно предположить, что повышение диссипативных свойств среды за счет межфазного обмена импульсом должно задерживать ламинарно-турбулентный переход как в ядре потока, так и в погранслое. Данный механизм тоже способствовал бы ослаблению пространственной неоднородности волны и срыву детонации.
Рецензенты:Куйбин П.А., д.ф.-м.н., ученый секретарь, ФГБУН Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения Российской академии наук (ИТ СО РАН), г. Новосибирск;
Шарыпов О.В., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» (НГУ), г. Новосибирск.