Цель данной работы: разработать математическую модель принятия решения кредитором о выдаче кредита предприятию – заемщику, основанную на методике свертки критериев в многокритериальных задачах.
Пусть предприятие обращается к кредитору с просьбой предоставить ему кредит на срок от 
до 
лет, 
. На момент выдачи кредита 
оно может принадлежать одной из трех групп: группа I – благополучное финансовое состояние предприятия, группа II – финансовое состояние предприятия таково, что оно находится в состоянии «за 5 лет до банкротства», группа III – «за год до банкротства». Принадлежность кредитуемого предприятия к одной из трех групп I, II, III определяется с помощью показателей Бивера 
, [1]: к каждой из этих групп предприятие может принадлежать, если не менее трех показателей Бивера указывают на принадлежность к этой группе.
Предположим, что лицо, принимающее решения (ЛПР) со стороны кредитующей организации (банка), рассматривает 
возможных варианта принятия решения (стратегии): 
– выдавать, 
– выдавать, не более, чем на 
, 
, лет, 
– не выдавать кредит. Обозначим через 
– событие, означающее, что 
-й показатель (коэффициент Бивера) 
принадлежит 
-й группе, 
, 
.
Если известны статические (бухгалтерские) данные предприятия на протяжении 
лет, 
то на основе этих данных можно вычислить коэффициенты У. Бивера , и вероятности 
того, что коэффициент 
принадлежит -й группе, , 
[2 – 6,9].
В теории принятия решений предлагается, что ЛПР принимает решения, исходя из состояний некоторой среды, которая полностью определяется этими состояниями (состояния среды часто называют её стратегиями). В данном случае среда может находиться в одном из следующих состояний (иметь стратегии): всевозможные стратегии 
для первой группы –
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
;
всевозможные стратегии 
для второй группы –
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
;
всевозможные стратегии 
для третьей группы –
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
.
Таким образом, среда имеет 
, 
, стратегий: 
, 
, 
. Обозначим стратегии среды следующим образом: 
.
Учитывая независимость и вычисленные вероятности , легко вычислить вероятности 
, 
; 
. По вероятностям 
можно определить вероятности 
, : 
,
,
, 
,,
,
,,
. Обозначим через 
– ожидаемый доход в момент за предоставление кредита, если ЛПР выбрало 
– ю, 
, 
, а среда – свою – ю, 
, стратегию 
. Элементы можно упорядочить в виде матрицы последствий 
. Элементы , , , матрицы 
обычно задают (указывают) эксперты. Процедуру оценки элементов можно немного упростить, если использовать для этого следующие соображения. Обозначим через 
– доход, который кредитующая организация (банк) желает получить с кредитуемого предприятия за предоставление ему кредита, если ЛПР (выступающее со стороны кредитора) будет использовать стратегию 
, . В этом случае для оценки можно использовать очевидное соотношение: 
, , .
Пусть 
– средний доход, который получит кредитующая организация, если ЛПР (выступающее от имени этой организации) примет решение использовать стратегию , 
– величина риска не получить требуемый доход при использовании стратегии , 
, , где 
– символ дисперсии.
Тогда задача принятия решения о выдаче кредита предприятию-заемщику сводится к двухкритериальной задаче:
(1)
Решать такие задачи можно методами свертки критериев, в частности, линейной свертки. Укажем один способ решения такого рода задачи.
Пусть рассматривается задача многокритериальной оптимизации: функции 
, 
, определены на , 
, 
– -мерное вещественное пространство, и отображают соответственно в 
[8]. Требуется найти
, . (2)
Решение данной задачи можно свести к решению задачи с одним критерием (с помощью свертки критериев). В данной работе будем рассматривать линейную свертку критериев (1). Она позволяет объединить в виде линейной комбинации все частные целевые функции 
в одну 
:
; 
; 
. (3)
Весовые коэффициенты 
характеризуют относительную значимость соответствующих критериальных функций 
. Чем большее предпочтение мы отдаем критерию , тем больший вклад в сумму (3) он должен привносить и, следовательно, тем большее значение 
должно быть выбрано. Как правило, значения , , в (3) указывают эксперты. Однако при наличии существенно разнохарактерных частных критериев экспертам сложно указать окончательный набор коэффициентов . Поэтому предложим способ выбора , основанный на других соображениях.
Допустим вначале, что все критерии из (2) не ранжированы. Пусть заданы точки 
, 
,..., 
. Вычислим значения 
, , 
, и построим линейную комбинацию
, , в которой , , предлагается выбирать (приближенно) путем решения следующей задачи квадратичного программирования:
; (4)
; (5)
, . (6)
Для численного решения этой задачи можно использовать различные инструментальные средства, например, офисные приложения электронных таблиц Excel.
Пусть теперь критерии, , ранжированы следующим образом:
, (7)
где 
, 
, означает, что критерий 
не менее предпочтителен, чем критерий 
. Однако степень предпочтительности по отношению к 
неизвестна (не указана). В этом случае (если , , ранжированы согласно (7)), очевидно, , , должны удовлетворять, кроме условий (5), (6), дополнительному условию
. (8)
Таким образом, решение многокритериальной задачи (2) можно свести, не прибегая к помощи экспертов, к решению одной из задач: (4) – (6), (3) или (4) – (6), (8), (3). В рассматриваемом случае от модели (1) с двумя критериями путем линейной свертки критериев можно перейти к модели с одним критерием:
, (9)
, 
. (10)
которая может быть исследована одним из описанных выше способов.
Пример 1. Для принятия решения о выдаче кредита ОАО «Ленмолоко» банком были использованы статические данные за 
лет [7], 
, 
; рассматриваются стратегии – выдавать кредит, 
– выдавать кредит не более чем на год, – выдавать кредит не более чем на 2 года, 
– не выдавать кредит, 
тыс. руб. На основе этих данных проведены вычисления, полученные результаты представлены в табл.1.
Таблица 1. Средние ожидаемые доходы и риски стратегии 
.
|
Стратегия |
Средние ожидаемые доходы, |
Риски, |
|
|
790,59 |
380,08 |
|
|
761,65 |
48,76 |
|
|
383,96 |
10,74 |
Производя свертку в (1), получим выражение (9), для максимизации которого, согласно (4), рассчитаем весовые коэффициенты 
, 
. Они оказываются равными 
; 
. Воспользовавшись офисным приложением электронных таблиц Excel, найдем решение (9) при ограничениях (10): при –
; при – 
; – 
. Очевидно, что является максимальным значением среднего дохода банка. Это означает, что банку рекомендуется придерживаться стратегии , то есть выдавать кредит предлагаемому предприятию на срок не более 2–х лет.
Рецензенты:
Уртенов М.Х., д.ф-м.н, профессор, заведующий кафедрой прикладной Математики ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.
Луценко Е.В., д.э.н., к.т.н., профессор кафедры компьютерных технологий и систем ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет», г. Краснодар.
Бичурин Мирза Имамович, д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Великий Новгород.