Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

О РИСКАХ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПЕРЕМЕННЫХ С КРИТИЧЕСКИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Севодина В.М. 1
1 Пермский национальный исследовательский политехнический университет
В работе изучены ситуации, в которых экономические индикаторы сложных систем моделируются зависимостью общего вида. Оказывается, что использование таких систем при наличии некоторых ограничений на множество значений моделируемой переменной либо на переменные связано со сложностями точной интерпретации полученных результатов. Доказано, что при использовании моделей подобного типа возникает вероятность принятия ошибочного решения (риск), что связано с неправильной информацией, выдаваемой моделью, о нахождении параметров системы в допустимой области или вне ее. Рассмотрены приемы определения границ множеств, соответствующих допустимым значениям индикаторов системы. Установлены формулы для определения риска принятия решения в таких системах. Разобраны различные варианты распределения ошибок моделирования и измерения. Описаны ситуации, в которых возможно аналитическое вычисление указанных вероятностей.
критическое значение
вероятность
ошибочное решение
модель
риск
1. Живетин В.Б. Риски и безопасность экономических систем (математическое моделирование). - 2-е изд. - М. : Изд-во Института проблем риска, 2005. – 345 с.
2. Живетин В.Б. Научный риск. – Казань : Изд-во Казанского математического общества, 2003. – 355 с.
3. Севодин М.А., Севодина В.М. О некоторых рисках, возникающих при использовании линейных регрессионных зависимостей // Управление экономическими системами : электронный научный журнал. - 2013. - № 1. - URL: http://uecs.ru/instrumentalnii-metody-ekonomiki/item/1947-2013-01-25-06-15-40
4. Первадчук В.П., Севодина В.М., Севодин М.А. О рисках, возникающих при моделировании экономических индикаторов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. Экономические науки. - 2013. - № 3 (173). – С. 150-156.
5. Первадчук В.П., Севодина В.М. О влиянии ошибок моделирования на оценку состояния системы // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 2. - URL: http://www.science-education.ru/108-9135
6. Шевченко Е.Н. Математическое моделирование распределения риска при независимых случайных величинах вероятностей исходных событий и ущерба // Фундаментальные исследования. – 2011. - № 12. - C. 604-608. - URL: http://rae.ru/fs/?section=content&op=show_article&article_id=7981780

Сегодня все более широкое применение находит математическое моделирование различных процессов. Построение модели и получение по ней достоверных результатов становится одной из самых актуальных задач. В связи с этим важной является проблема обеспечения высокого качества результатов экономического исследования, одной из сторон которой является точность используемых в моделировании данных по отношению к фактическим величинам. Случайные ошибки в их измерении, не принимаемые во внимание традиционными методами, в сочетании с естественной случайной ошибкой модели, могут оказывать существенное влияние на результат моделирования. В связи с необходимостью ограничивать множество значений участвующих в анализе или исследуемых переменных появляется риск выйти за допустимые значения переменных в результате накопления таких ошибок. Значит, при моделировании необходимо учитывать такой риск.

Ранее, в работах [3-5], описанная проблема рассматривалась в условиях использования в качестве рассматриваемой модели сначала однофакторной, затем многофакторной линейной регрессионной зависимости, а также в предположении, что случайные ошибки имеют нормальное распределение. Однако в общем случае эти предположения не обязательны.

В данной работе расширен предложенный в [3-5] метод количественного описания риска, возникающего при моделировании с переменными, имеющими критические значения, на случай модели произвольного вида, а также на случай распределенных по различным законам распределения случайных ошибок.

Пусть имеет место некоторый смоделированный процесс , зависящий от : . При описании эконометрической зависимости между указанными переменными будем считать, что существует случайная ошибка модели. Тогда модель процесса примет вид: . Кроме того, с учетом некоторых внутренних и внешних факторов, выделим фактическое значение , отличающееся от измеренного значения на некоторую величину : . Тогда с использованием модели процесса будет иметь вид:

(1)

Оценочная величина определится следующим образом:

(2)

Предположим, что имеется некоторая допустимая область, внутри которой должны находиться фактические значения . Примерами ситуаций, в которых появляется такая область, являются, например, следующие: 1) множество, на котором возможно использование построенной модели, ограниченно; 2) имеются некоторые критические значения моделируемой величины, возникающие в силу сущности изучаемых явлений; 3) фиксация момента выхода за границы некоторого рубежного множества. Обозначим такую область через . Из-за возникновения в процессе использования модели описанной ранее величины выделяется множество , отличное от .

В зависимости от взаимного расположения , и относительно допустимых множеств можно выделить несколько ситуаций. Случай определим как событие . Если выполняется включение , то имеет место событие . Если эти включения не выполняются, то будем считать, что происходят события соответственно.

Так как при использовании модели следует рассматривать все допустимые области, всегда будет иметь место какое-нибудь сочетание событий указанных двух групп.

Полученные комбинации ситуаций можно условно разделить на две группы: безопасные, то есть дающие однозначную, верную информацию, и опасные, подразумевающие ошибочные выводы. К первой группе относятся события и . Ко второй группе, в силу двойственности информации, следует отнести и .

Безопасные ситуации не влекут за собой получение недостоверных результатов, так как в этом случае всегда можно проверить работу модели. Таким образом, риск, возникающий при применении зависимости , будем понимать как вероятность наступления событий и .

Вероятность наступления одного из них можно вычислить, используя подход, описанный в [2].

Приведем вывод выражения для вычисления вероятности наступления события.

, (3)

где - совместная плотность распределения отклонений .

Аналогично находятся вероятности остальных событий. Ввиду того что вероятность , как правило, оказывается очень малой, вероятность ошибочного решения можно найти как .

В работе [3-5] рассматривался случай, при котором все учитываемые при вычислении риска отклонения имели нормальное распределение. Однако в общем случае это предположение может не выполняться. Проанализируем, какой вид примет формула (3) в результате работы с различными распределениями ошибок.

В работе [6] рассматриваются различные законы распределения, которым могут подчиняться случайные ошибки. Адаптируем некоторые выкладки из нее для нашего случая. Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

Распределение

Распределение

Гаусса

Гаусса

 

Рэлея

 

Рэлея

Лапласа

Лапласа

Вейбулла

 

Вейбулла

Логнормальный

Логнормальный

Стьюдента

 

Стьюдента

 

Таким образом, в каждом из представленных случаев, в виде подынтегральной функции будет выступать совместная функция плотности распределений, совпадающая с одной из представленных в таблице 1.

Рассмотрим теперь подсчет вероятности ошибочных выводов при сочетании ошибок, имеющих разные законы распределения.

Пусть и имеют лапласовское распределение на бесконечных интервалах. Тогда формула 3 примет вид:

В отличие от рассмотренного ранее в работах [3-5] случая, когда все учитываемые в модели ошибки распределены по нормальному закону и интеграл приходится вычислять приблизительно с помощью численных методов, в этом случае можно получить точное значение интеграла:

Таким образом, предложенный ранее в работах [3-5] метод количественной оценки риска, возникающего при моделировании с переменными, имеющими пороговые значения, распространен на случай моделей общего вида. Изучены случаи, в которых случайные ошибки, участвующие в анализе риска, имеют отличное от нормального распределения. Установлено, что предлагаемый метод подходит и для анализа таких ситуаций. Кроме того, показано, что при некоторых вариантах распределений ошибок возможно вычисление точного значения целевого интеграла. С другой стороны, естественно, имеются варианты, в которых необходимо использовать численные методы и с их помощью находить приблизительное значение риска.

Рецензенты:

Елохова И.В., д. э. н., профессор, заведующий кафедрой управления финансами Пермского национального исследовательского университета, г. Пермь.

Перский Ю.К., д.э.н., профессор кафедры менеджмента и маркетинга Пермского национального исследовательского университета, г. Пермь.


Библиографическая ссылка

Севодина В.М. О РИСКАХ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПЕРЕМЕННЫХ С КРИТИЧЕСКИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=11602 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074