В данной работе рассматривается метод построения сужающейся системы оценок решения задачи теплопроводности с немонотонными граничными условиями, которая описывает процесс теплообмена с фазовым переходом во влажном дисперсном грунте. Решение имеет вид системы функций, поочередно мажорирующих искомое решение сверху и снизу. Оценки находятся с помощью теорем сравнения для уравнений параболического типа. Теоремы сравнения называют также теоремами монотонности, так как монотонность – естественное условие их применения. В данной работе рассматриваются задачи с немонотонными граничными условиями, вследствие чего немонотонной является сама искомая функция. Разработаны искусственные приемы, позволяющие заменить немонотонные функции определенной комбинацией монотонных, после чего удается применить теоремы сравнения, либо интегральные неравенства для построения границ решения. Приводится эффективная процедура численной реализации данного метода. Проведен численный анализ решения тестовой задачи.
In this work the method of creation of being narrowed system of estimates of the solution of a problem of heat conductivity with nonmonotonic boundary conditions which describes heat exchange process with phase transition in moist disperse soil is considered. The solution looks like a system of functions, which majorize the sought-for funcion in turns from above and from below. Estimates are found by means of comparison theorems for the equations of parabolic type. Theorems of comparison are called also monotony theorems, as monotony is a natural condition of their application. In this work problems with nonmonotonic boundary conditions are considered, owing to what the sought-for function is also nonmonotonic. The implicit technique, allowing to replace nonmonotonic functions by a certain combination of monotonic is developed. Then it is possible to apply comparison theorems, or integrated inequalities to create the estimates of the solution. The effective technique of numerical realisation of this method is given. The numerical analysis of the solution of a test task is carried out.
1. Аксенов Б. Г., Фомина В. В. Решение осесимметричных задач тепломассообмена с фазовым переходом во влажных дисперсных материалах // Доклады АН ВШ РФ. – Новосибирское отделение АН ВШ. – 2012. – № 1(18). – С.44-52.
2. Даниэлян Ю. С. Приближенное решение температурных задач нелинейной теплопроводности с тепловыделением в спектре температур // Изв. СО АН СССР. Сер. тех. наук. – 1982. – Вып. 2. – № 8. – С. 6-12.
3. Даниэлян Ю. С., Аксёнов Б. Г. Построение оценок решений некоторых немонотонных задач нелинейного теплообмена. – Изв. РАН. ТВТ. – 1985. – Т. 23. – N. 5. – С. 904-909.
4. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. – 448 с.
5. Мирзаджанзаде А. Х. и др. Термовязкоупругость и пластичность в нефтепромысловой механике. – М.: Недра, 1973. – 324 с.
6. Тихонов А. Н. Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Стефана – Больцмана // Изв. АН СССР. География и геофиз. – 1973. – № 2. – С. 461-479.
7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – 4-е изд., испр. – М.: Наука, 1972. – 736 с.