Разбиение натурального числа называется идеальным, если каждое меньшее число можно единственным образом представить в виде линейной комбинации частей этого разбиения с коэффициентами –1, 0 или 1. Указанное разбиение связано с известной задачей о взвешивании с помощью набора гирь, которые можно ставить на обе чашки весов. В статье предлагается простое доказательство вычислительных рекуррентных формул, связанных с подсчётом количества упорядоченных факторизаций натурального числа. С помощью аппарата производящих функций удается получить простое доказательство явной формулы Мак-Магона для подсчёта упорядоченных факторизаций натуральных чисел, а также некоторые новые соотношения в случае, когда канонические разложения чисел не содержат квадратов простых множителей. Для натуральных чисел, в разложении которых каждый простой множитель входит только один раз, установлена связь количества упорядоченных факторизаций с экспоненциальными числами Белла и Стирлинга второго рода.

A perfect partition of a natural number is one which contains one, and only one, partition of every lower number. A sub-perfect partition of a number is such that, taking its parts positively or negatively, it is possible to compose in only one manner every lower number. Our results include explicit enumeration formulas and some combinatorial identities. The purpose of the research is to give a simple proof recurrence relations that count the number of ordered factorizations of natural numbers. Using the method of generating functions, we obtain a simple proof of an explicit formula for calculating McMahon ordered factorizations of natural numbers, and some new recurrence relations when these numbers have only two prime factors. For such natural numbers we found the relationship between the number of ordered factorizations and exponential Bell numbers and Stirling numbers of the second kind.