Разбиение натурального числа называют совершенным, если каждое меньшее число можно единственным образом представить в виде суммы некоторых частей этого разбиения. В статье предлагается простое доказательство вычислительных рекуррентных формул, связанных с подсчётом количества совершенных разбиений натурального числа. Применение аппарата производящих функций позволяет сократить объем необходимых преобразований, благодаря этому удается получить еще одно доказательство явной формулы МакМагона для подсчёта упорядоченных факторизаций натуральных чисел, а также некоторые новые рекуррентные соотношения в случае, когда эти числа имеют только два простых множителя. Для таких натуральных чисел доказана связь количества упорядоченных факторизаций с многочленами Якоби и Лежандра.

A perfect partition of a natural number is one which contains one, and only one, partition of every lower number. The purpose of the research is to prove computing recurrence relations that count the number of perfect partitions of a natural number. Using the method of generating functions, we give a simple proof of an explicit formula MacMahon’s for calculating ordered factorizations of natural numbers, and some new recurrence relations when these numbers have only two prime factors. For such natural numbers we found the relationship between the number of ordered factorizations and Jacobi polynomials and Legendre polynomials.