Нагруженные дифференциальные уравнения возникают при моделировании различных физических и биологических процессов, в частности, при изучении движения почвенной влаги, задачах теплопроводности. При решении краевых задач для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля появляется необходимость повышения порядка точности применяемого конечно-разностного метода. Данная работа посвящена численному методу повышенного порядка точности решения краевой задачи третьего рода для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля. В работе приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В классе достаточно гладких коэффициентов доказана сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи в равномерной метрике с четвертым порядком точности по шагу сетки. Основным методом исследования задачи является принцип максимума. С помощью принципа максимума получены априорные оценки погрешности приближенного решения в равномерной метрике, откуда следует её сходимость к точному решению задачи.

Loaded differential equations arise when modeling a variety of physical and biological processes, in particular in the study of movement of soil moisture, heat transfer problems. In solving boundary value problems for a loaded Sturm-Liouville appears the need to improve order accuracy used finite-difference method. This work is devoted to the numerical method of high order boundary problem solution of the third kind for a loaded Sturm-Liouville operator. The paper presents necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of the problem. In the class of sufficiently smooth coefficients proved convergence of the solution of the difference problem to the solution of the differential problem in the uniform metric to the fourth order of accuracy in pitch grid. The basic method of investigation of the problem is the principle of maximum. With the help of the maximum principle, a priori estimates of approximate solutions in the uniform metric, which implies its convergence to the exact solution of the problem.