Представлены результаты численного эксперимента по компьютерному анализу устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений. Анализ выполнен для случая матриц постоянных коэффициентов на основе критериев общего вида, не использующих сведения о корнях характеристических полиномов. В работе в общем виде излагается теоретическое обоснование подхода, включающее случаи нелинейных и линейных систем с переменными коэффициентами. Подход опирается на рекуррентные преобразования разностного решения системы и позволяет получать оценки устойчивости по ходу решения системы в реальном времени. Целью эксперимента являлось определение границ изменения шага разностного метода при сохранении достоверности компьютерной оценки устойчивости, результат указывает на возможность правильной оценки при вариации шага метода Эйлера в пределах нескольких десятичных порядков.
The results of numerical experiment on the computer analysis of the stability of systems of linear differential equations are presented. The analysis is performed for the case of constant coefficients matrix based on the criteria of general type, do not use the information on the roots of the characteristic polynomial. The work in general presents a theoretical rationale for the approach includes the case of non-linear and linear systems with variable coefficients. The approach is based on the recurrence of the difference solutions of systems. The approach allows to obtain estimates of stability for systems in real time. The aim of the experiment was to determine the boundaries of variation of the step of the difference method, while maintaining the reliability of a computer estimation of stability. The result of a numerical experiment indicates the possibility of a correct assessment with variation step of Euler´s method within several decimal orders.
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – СПб.: Изд-во «Лань», 2008. – 480 с.
2. Катрич С. А. Разработка и исследование программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук. Изд-во ТРТУ, Таганрог, 2006. – 20 с.
3. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическое моделирование. – 2008. – Т. 20. – №12. – С. 105 – 118.
4. Ромм Я.Е. Мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. – 2006. – № 1. – С. 127 – 142.
5. Ромм Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 4. – С. 119 – 142.
6. Ромм Я.Е. Программируемые критерии устойчивости по Ляпунову. I / ТГПИ. – Таганрог, 24 с. ДЕП в ВИНИТИ 21.06.2005, № 879- В2005.
7. Ромм Я.Е. Программируемые критерии устойчивости по Ляпунову. II / ТГПИ. – Таганрог, 26 с. ДЕП в ВИНИТИ 21.06.2005, № 880- В2005.
8. Ромм Я.Е., Заярный В.В. Численный эксперимент по выбору параметров компьютерного анализа устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений / ТГПИ. – Таганрог, 2015. – 44 с. Деп. В ВИНИТИ 10.02.2015, № 27-2015.
9. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1964. – 478 с.