В статье рассматривается задача восстановления возмущающего оператора по кратным спектрам двух краевых задач – задачи Дирихле и задачи Неймана для степени оператора Лапласа. Такого рода задачи в математике называют обратными задачами спектрального анализа. Центральное место в исследовании обратных задач занимают проблемы существования и единственности решения, корректности постановки, а также создания эффективных методов их решения. Обратные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в квантовой механике, геофизике, радиоэлектронике. В настоящее время достаточно полно исследованы обратные спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов, однако для дифференциальных операторов в частных производных, к которым относится оператор Лапласа, такие задачи недостаточно изучены. Решение поставленной в статье задачи строится на основе метода регуляризованных следов и принципа сжимающих отображений.
The article deals with the problem of reconstructing the disturbance operator to multiple spectra of two boundary value problems - Dirichlet and Neumann problem for the powers of the Laplace. Such problems in mathematics is called inverse problems of spectral analysis. Central to the study of inverse problems are problems of existence and uniqueness of solutions, the correct setting, and the development of effective methods to solve them. Inverse problems play a fundamental role in various areas of mathematics and have many applications in quantum mechanics, geophysics, radio electronics. Currently adequately investigated inverse spectral problems for ordinary differential operators, but for differential operators in partial derivatives, which include the Laplace operator, such tasks are not well understood. The solution of the problem in the article is based on the method of regularized traces and the contraction mapping principle.
1. Березанский Ю. М. Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шрединге-ра // ДАН СССР. – 1979. – Т. 105. – № 2. – С. 197-200.
2. Дубровский В. В., Дубровский В. В. (мл.) К теореме существования решения обратной задачи спектрального анализа // Успехи математических наук. – 2001. – Т. 56. – Вып. 1. − С. 161-162.
3. Дубровский В. В. (мл.) Обратная спектральная задача для возмущенного оператора опе-ратора Лапласа, порожденного краевой задачей Неймана // Актуальные проблемы современ-ной науки, техники и образования: материалы 70-й межрегиональной научно-технич. конф. – Т.1. – Магнитогорск: МГТУ им. Г. И. Носова, 2012. – С. 9-12.
4. Дубровский В. В. (мл.) Обратные задачи спектрального анализа для некоторых диффе-ренциальных операторов в частных производных // дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защищена 26.05.06: утв. 14.07.06. – Магнитогорск., 2006. — 121 с.
5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. – Т. 1. – М.: ГТТИ, 1933. – 476 с.
6. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. – Киев: Навукова дум-ка, 1977. – 350 с.
7. Садовничий В. А., Дубровский В. В., Дубровский В. В. (мл.) Обратная задача спектраль-ного анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике // Доклады РАН. – 2001. – Т. 377. – № 3. – С. 310-312.
8. Садовничий В. А., Дубровский В. В., Смирнова Л. В. О единственности решения обрат-ных задач спектрального анализа // Доклады РАН. – 2001. – Т. 370. – № 3. – С. 319-321.
9. Седов А. И., Дубровский В. В. (мл.) Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой // Элек-тромагнитные волны и электронные системы. – Т.10. – № 1–2. – 2005. – С.4-9.
10. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. – Саратов: Изд-во СГПИ, 2001. – 499 с.