Работа посвящена численному методу решения краевой задачи третьего рода для нагруженного обыкновенного дифференциального уравнения. В работе также получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи. Нагруженные дифференциальные уравнения возникают при моделировании различных физических и биологических процессов, в частности, при изучении движения почвенной влаги, задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает из точечных источников загрязняющее вещество определенной интенсивности, задача теплопроводности. В классе достаточно гладких коэффициентов доказана сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи в равномерной метрике со вторым порядком точности по шагу сетки. Основным методом исследования задачи является принцип максимума. С помощью принципа максимума получены априорные оценки погрешности приближенного решения в равномерной метрике, откуда следует её сходимость к точному решению задачи.

The work is devoted to numerical methods for solving boundary value problem of the third kind for a loaded ordinary differential equation. The paper also obtain necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of the problem. Loaded differential equations arise when modeling a variety of physical and biological processes, in particular for the study of movement of the soil moisture, quality control problems of water when the water body flows out of point sources, the intensity of a particular pollutant, the problem of heat conduction. In a class of sufficiently smooth coefficients prove the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the differential problem in the uniform metric to the second order of accuracy for the grid step. The main method of studying the problem is the maximum principle. The maximum principle, a priori error estimates for approximate solutions in the uniform metric, which implies its convergence to the exact solution of the problem.