Подход к компьютерному анализу устойчивости решений задачи Коши для систем ОДУ в нормальной форме строится на основе рекуррентных преобразований разностных схем, преимущественно используется метод Эйлера-Коши. Условия устойчивости даны в форме оценок асимптотического поведения сходящихся бесконечных произведений. На практике выполняется аппроксимация бесконечных произведений частичными, которые циклически реализуются программно с целью компьютерной проверки устойчивости. Характер поведения частичных произведений обусловливает критерии компьютерного анализа: их ограниченность соответствует устойчивости, неограниченный рост – неустойчивости, стремление к нулю с ростом независимой переменной – асимптотической устойчивости. При компьютерной реализации анализа в качестве разностных схем помимо метода Эйлера-Коши используются методы Рунге-Кутта и Адамса четвертого порядка. Предложенный подход и данные условия устойчивости применяются для компьютерной оценки устойчивости решений систем ОДУ общего вида. Приводятся результаты численных экспериментов и компьютерного моделирования, даны их аналитические интерпретации.
The approach to computer analysis of solution stability of Cauchy problem for systems of ODE in normal form is based on the recurrence of difference schemes mainly the method of Euler-Cauchy. The stability conditions are given in the form of estimates of the asymptotic behavior of convergent infinite products. In practice, the approximation of infinite products is performed by partial ones that cyclically are implemented in software with the aim of checking computer stability. The behavior of the partial products determines criteria of computer analysis: their limitations corresponds to stability, unlimited growth – instability, aspiration for zero with the increase of the independent variable – asymptotic stability. When computer realizes analysis as the method of finite difference schemes in addition to the Euler-Cauchy, methods of fourth order of Runge-Kutta and Adams are used. The proposed approach and data stability conditions apply for computer evaluation of stability solutions of ODE systems of general form. The results of numerical experiments and computer modeling and their analytical interpretation are given.
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472 с.
2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – СПб.: Изд-во «Лань», 2008. – 480 с.
3. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003. – 224 с.
4. Катрич С. А. Разработка и исследование программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов: Автореф.дис. канд. техн. наук. – Таганрог, 2006. – 20 с.
5. Ромм Я.Е. Мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. – 2006. – № 1. – С. 127 – 142.
6. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическоемоделирование. – 2008. – Т. 20. – №12. – С. 105 – 118.
7. I.V. Astashova. Application of dinamical systems to the study of asymptotic properties of solutions to nonlinear higher-order differential equations // Journal of Mathematical Sciences. – 2005. – Vol. 126. – № 5. – P. 1361 – 1390.
8. B. Cannas, F. Pisano.A Piecewise Linear Approximation Method for the Evaluation of Lyapunov Exponents of Polynomial Nonlinear Systems // Chaos and Complex Systems. – Springer-Verlag Berlin Heidelberg. – 2013. – P. 439 – 447.
9. Maria Alice Bertolim, Alain Jacquemard. Time switched differential equations and the Euler polynomials // Fondazione Annali di Matematica Puraed Applicata and Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013.
10. K. Wright. Adaptive methods for piecewise polynomial collocation for ordinary differential equations // BIT Numerical Mathematics, 2007, 47. – P. 197 – 212.