При изучении разделов теории приближения, одним из важных подходов является разложение функций в функциональный ряд по некоторой системе функций, затем изучая сходимости (аналогично абсолютной сходимости рядов Фурье), исследуем свойства самой функции. Кроме того, разложение функции по системе Хаара применяются в исследованиях по теории вложения классов функций, при этом основная задача заключается в нахождении необходимых и достаточных условий вложения, по которым будет выяснена потеря гладкости при переходе функции из одного класса с определенной метрикой в другой, с более высшей метрикой. Данная работа тесно связана с цифровой обработкой сигнала (ЦОС), потому что основной задачей ЦОС является преобразование непрерывного сигнала в дискретный. В работе вводится системы типа Хаара, затем доказывается ортонормированность данной системы и применение в разложении степенной функции по определенной ортонормированной системе функций.

In the study of sections of approximation theory, an important approach is the expansion of functions in series of functions on a certain system functions, and then studying the convergence (similar to the absolute convergence of Fourier series), we investigate the properties of the function itself. In addition, the expansion of the Haar system used in research on the theory of embedding of classes of functions, and the main task is to find necessary and sufficient conditions for investments, which will be elucidated loss of smoothness of the transition function of a single class with definite metric in another with a higher metric. This work is closely related to digital signal processing (DSP), because the main task of the DSP is to convert the continuous signal into a discrete. This paper introduces the system of Haar-type, then prove the orthonormality of the system and the application in the expansion of the power function for a particular orthonormal system of functions.