Рассматривается смешанная задача для гиперболического уравнения с оператором Бесселя с нелокальным интегральным условием второго рода. Методом разделения переменных найдено общее решение этой задачи в виде бесконечного ряда и доказана его единственность. Доказана полнота и ортогональность системы собственных функций оператора Бесселя. При этом получены ограничительные условия на функции, определяющие начальные данные смешанной задачи. Обоснование решения задачи доказывается методом спектральных разложений. При доказательстве ортогональности используются асимптотическая формула для функции Бесселя первого рода и формулы дифференцирования цилиндрических функций.
The mixed problem for the hyperbolic equation with Bessel operator with not local integrated condition of the second kind is considered. By the method of separation of variables the common solving of this problem in the form of an infinite series is found and its uniqueness is proved. Completeness and orthogonality of the eigenfunction system of the Bessel operator is proved. Restrictive conditions on the functions defining initial data of the mixed problem are thus received. The foundation of the solving of a problem is proved by a method of spectral expansion. At the orthogonality proof are used assymptotical formula for Bessel function of the first kind and the formula of differentiation of cylindrical functions.
1. Бейтман Г. Высшие трансцендентные функции. Т.2. – М.: Наука, 1966. – 296 с.
2. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. – М.: И.Л., 1949. – 799 с.
3. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний струны. Математическое моделирование. – 2000.–Т. 12. - № 1. – С. 94-103.
4. Зайцева Н.В. Смешанная задача для одного В-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып.2. – Тула: Изд-во ТулГУ. – 2012. – С. 39-50.
5. Зайцева Н.В. Смешанная задача для одного В-гиперболического уравнения с интегральным условием второго рода// Известия Смоленского государственного университета. – Смоленск: Изд-во СмолГУ. – 2013. - №4(24). – С. 397-403.
6. Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. Математические заметки. – 2003. – Т. 74. - № 3. – С. 435-445.
7. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т. 40. - № 7. – С. 887-892.
8. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.
9. Bouziani A., Benouar N.E. Probleme mixte avec conditions integrals pour une classe d’equations hyperboliques. Bull. Belg. Math. Soc. – 1996. - № 3. – Р. 137-145.