Предлагается частотный метод решения задачи о продольных колебаниях стержней ступенчато-переменного сечения с учетом или без учета рассеяния энергии при соударении с жестким препятствием. Уравнение продольных колебаний стержня преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил как функций краевых перемещений. Затем составляется система уравнений равновесия узлов, решая которую, строятся амплитудо-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих сечений стержня. Осуществляя обратное преобразование Лапласа, строится переходный процесс. В качестве тестового примера рассматривается стержень постоянного сечения конечной длины. Дается сопоставление с известным волновым решением. Предлагаемая методика динамического расчета стрежня при соударении с жестким препятствием допускает обобщения на произвольную стержневую систему при наличии неограниченного количества упруго-присоединенных масс, при произвольном силовом воздействии, приложенном на концах и по длине стержня.
Frequency method is proposed for solving the problem of longitudinal vibrations of rods stepped-section with or without energy dissipation in a collision with a rigid obstacle. Equation of longitudinal vibrations of a rod Laplace transforms in the presence of non-zero initial conditions. We solve the boundary value problem, which consists in finding the Laplace transformed boundary longitudinal force as a function of boundary movements. Then is a system of equilibrium equations of nodes which are constructed by solving the amplitude-phase-frequency characteristics (APFC) for interested sections of the rod. Carrying out the inverse Laplace transform, construct the transition process. As an example, the test rod of constant cross-section of finite length. provides a comparison with the known wave solution. The proposed method of calculating the dynamic rod in a collision with a rigid barrier can be generalized to an arbitrary system in the presence of stem unlimited number of elastically attached masses for arbitrary force action, attached at the ends and along the length of the rod.
1. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. – М.: Высшая школа, 1972. – 416 с.
2. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплекс¬ного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с.
3. Санкин, Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами / Ю.Н. Санкин. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. – 312 с.
4. Санкин, Ю.Н. Нестационарные колебания стержневых систем при соударении с препятствием / Ю.Н. Санкин, Н.А. Юганова; под общ. ред. Ю.Н. Санкина. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 174 с.
5. Sankin, Y.N. Longitudinal vibrations of elastic rods of step-variable cross-section colliding with rigid obstacle \ Yu. N. Sankin and N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, no 3, pp. 427–433, 2001.