В статье рассматривается математическая модель и численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере решения уравнения диффузии. Приводится описание метода клеточных автоматов как численного метода решения уравнений в частных производных. Показано, что оригинальная математическая модель Марголуса для описания процесса диффузии дает дискретное распределение физического параметра. Представлено модифицированное правило Марголуса в качестве аналога дифференциального оператора второго порядка в рамках вычислительной среды клеточных автоматов. Показано, что модифицированное правило Марголуса в двух- и трехмерном случаях позволяет получать непрерывную функцию распределения физического параметра. Проведена верификация предложенной математической модели диффузии на окрестности Марголуса путем сравнения с известным точным решением трехмерного уравнения диффузии, относительная погрешность составила порядка одного процента. Рассчитаны безразмерные коэффициенты диффузии.
This article describes mathematic model and numerical method for partial parabolic differential equations of diffusion and heat conduction phenomena. Describes common numerical methods for solving differential equations parabolic type. Cellular Automata as numerical method for partial parabolic equation is described. Original Cellular Automata Margolis diffusion rule gives a discrete distribution. Described 2D and 3D Margolis mathematic model diffusion allows to get continuous distribution of physical parameter. Mathematic model Cellular Automata for molecular diffusion was verified by compared with analytical decision of diffusion equation. Relative error calculated of modified mathematical model and was about one percent. The diffusion coefficients are calculated dimensionless for modified mathematic model.
1. Годунов С.К. Разностные схемы : учеб. пособ. / С.К. Годунов, В.С. Рябенький. – М. : Наука, 1977.
2. Малинецкий Г.Г., Степанцов М.Е. Моделирование диффузионных процессов с помощью клеточных автоматов с окрестностью Марголуса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1998.
3. Монин А.С. Атмосферная диффузия // Успехи физических наук. – 1959. - Т. LVII, вып. 1. - С. 119-130.
4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М. : Наука, 1978.
5. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. - М., 1960.
6. Сергеев А.П., Берг Д.Б., Губарев С.В. «Цифровые» реалии аналитических моделей // Вестник УрО РАН. Наука. Общество. Человек. – 2009. - 2 (28). - С. 38-49.
7. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. - М. : Мир, 1991. - 280 с.
8. Шокин Ю.И., Шурина Э.П., Инткина Н.Б. Современные многосеточные методы. – НГТУ, 2012. – 98 с.
9. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. – Новосибирск : Наука, 1967.
10. Frisch U. et al. Lattice-Gas Automata for Navier-Stokes Equation // Phys. Rev. Lett. – 1986. - V. 56. - P. 1505-1508.