Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

Бейбалаев В.Д.

Отсутствие адекватных количественных моделей процессов тепломассообмена в многокомпонентных системах со сложной пространственно- временной структурой, для которых характерны эффекты памяти, самоорганизации привело к  тенденции пересмотра основных положений теории тепломассообмена. Одно из направлений связано с использованием принципа локальной неравновесности [1], что позволяет построить более последовательную теорию массопереноса в гетерогенных системах [2]. Другие направления связаны с использованием методов фликер-шума [3], детерминированного хаоса [4], концепции фрактала [5]. 

Одним из эффективных методов исследования процессов тепломассопереноса является метод основанный на применении стохастических дифференциальных уравнений [6]. В настоящей статье выводятся обобщенные уравнения Фокера-Планка в производых дробого порядка на основе  уравнения Смолуховского-Эйнштейна. Рассматриваются решения некоторых частных случаев обобщенного уравнения Фокера-Планка и их приложения к теории теплопроводости. фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой.

Значительные успехи при рассмотрении кинетических явлений  в системах с фрактальной структурой связаны с использованием формализма интегродифференцирования дробного порядка .  Повышенный интерес к дифференциальным уравнениям  дробного порядка [7-9] обусловлено  их физической интерпретацией [10] . Было показано, что переход к производной дробного порядка по времени позволяет учитывать эффекты памяти системы [10]. Это и вызвало  их широкое применение в механике, физике, биофизике экономике - практически во всех областях естествознания [11-16].

Область применимости решений дифференциальных уравнений дробного порядка значительно шире, чем дифференциальных уравнений с целочисленным дифференцированием, поскольку последние оказываются их частным случаем.  Уравнения в производных дробного порядка, позволяют учесть процессы, в которых одновременно участвуют как обратимые, так и необратимые процессы [10,11]. Это позволяет не только получить принципиально новые результаты, но более глубоко осмыслить известные результаты, позволяя при этом, создать адекватные количественные модели исследуемых явлений

1. Обобщенное уравнение Фокера-Планка

В основе описания случайных процессов лежит уравнение Смолуховского-Эйнштейна, которое записывается для условной плотности вероятности имеет вид

f[6]

           f       (1)

Для вывода обобщенного уравнения Фокера-Планка исходим из выражения

       f                  (2)

где f, производная дробного  порядка определена соотношением  [7]

                f        (3)

Здесь Г(z) - гамма-функция Эйлера. С помощью соотношений (2), (3)  уравнение Смолуховского- Эйнштейна  (1) можно привести к виду

f (4)

где введена функция

f

В дальнейшем мы воспользуемся   разложением функции f в обобщенный ряд Тейлора  [7]

f

где f. В результате  уравнение (4) можно привести к виду

f(5)

где введены функции

f                      (6)

Функции f - представляют собой обобщенные моменты. При  fи  f(6) переходит в обычное выражение для момента. В  (6), произведя интегрирование по частям,  окончательно получим следующее  дифференциальное уравнение в производных дробного порядка

 f (7)

Уравнение (7) представляет собой обобщенное уравнение  Фокера-Планка записанное в производных дробного порядка. Обобщенное уравнение Фокера-Планка (7) позволяет исследовать новый класс стохастических процессов, которые реализуются в системах с фрактальной структурой.

В дальнейшем рассмотрим различные модификации уравнения (7). В частности, предполагая, что для обобщенных моментов справедливо выражение

f

получим следующее уравнение

f      (8)

В случае f и  f уравнение (7) переходит в известное уравнение Фокера-Планка [6]. Таким образом, уравнение (7)  представляет собой обобщенное уравнение Фокера-Планка.

Уравнение типа (7) лежит в основе различных задач тепломассопереноса. Уравнения типа (8) используются  при исследовании задач тепломассопереноса.

1. В качестве применения уравнений типа (8)  рассмотрим обобщенное  уравнение теплопроводности  [17 ]

f

где f, f, f - безразмерные время и координата,  f- характерные временной и масштабный параметры, f - коэффициент температуропроводности.

Приложение уравнения обобщенной теплопроводности к задачам теории теплового поля земли в рамках концепции фрактала рассмотрено в работе. В частности в случае стационарного поля для распределения температуры в глубь земли получаем следующий результат .

f

Таким образом, распределение температуры имеет нелинейный характер. 

2. Рассмотрим частный случай  дифференциального  уравнения

                              f    (9)

где f.

В качестве функции f  может быть рассмотрена температура при рассмотрении задач теплопроводности, концентрация вещества при рассмотрении задач массопереноса [18], и распределения давления  при рассмотрении задач гидродинамики [15 ].Решение уравнения  зависит от вида начальных условий. Рассмотрим случай, когда  начальное условие к уравнению (1) дается в виде

                     f                       (10)

Задачу Коши (9),(10)  решаем, совершая преобразование Фурье по переменной  х

f

В результате уравнение (9) запишется в виде

f

решение которого, с начальным условием f  известно [7]

f

Здесь  f - функция Миттаг-Леффлера [7].

Отметим, что для целых  fфункцию Миттаг-Леффлера можно свести к гипергеометрическому ряду. Например, при f=k=1,2,...n получим

f

где f гипергеометрическая функция

Для определения исходной функции, совершая обратно преобразование Фурье, окончательно получим

         f                 (11)

Для f-источника  fи при f=1 решение (11)  учитывая, что f, принимает известный вид

                      f                             (12)

В остальных случая мы имеем новый класс решений.

В случае, например  f=1/2, 1/4  функция f принимает вид

f

f

Рассмотрим решение уравнения (7) когда задается начальное значение функции f. В этом случае удобно использовать преобразование Лапласа. При использовании преобразования Лапласа существенно то, что в отличие от обыкновенной производной, когда имеет место соотношение

f

для дробной производной, как можно непосредственно убедиться имеет место соотношение f.  Для учета начального условия  fнеобходимо его явно внести в уравнение и исходить из уравнения следующего вида [19]

           f                         (13)

Второе слагаемое в (13), по существу, есть результат действия дробной производной на начальное условие. Совершая, как и ранее сначала преобразование Фурье по переменной x и, затем преобразование Лапласа по переменной t получим для f(k,p) следующее выражение

f

что дает для искомой функции следующий результат           

f

Рассмотрим случай, когда f тогда

            f                (14)

При  fрешения (8) и (12) совпадают. Однако для остальных значений (f ) эти решения существенно отличаются.  Так,  в отличие от решения (8) в (12) отсутствует сингулярный множитель f, а также отличается второй индекс функции Миттаг-Леффлера  (f ). В этом случае имеем следующие выражения  функции Миттаг-Леффлера , например, для  f :

f

где f- неполная Гамма-функция. Характер решения (10) качественно не отличается от решения  (5). Остановимся на решении задачи

         f          (15)

для ограниченной области: f, с  краевыми условиями

f

f   при х=0                              (16)

f     при x= f

Эта задача для краевых условий первого рода рассмотрена в работе [20].

Используя метод разделения переменных окончательно получим следующее решение задачи (15,16)

f                   (17 )

где,      f      .

Здесь f корни уравнения

f

Решение (17) при  fсовпадает с известным ранее решением . В случае f  принимает вид

f           (18 )

Поведение решения (14)  при f имеет степенной характер [14]     

f

Это отличается от асимптотического поведения решения (12) который имеет экспоненциальный характер.

Полученные решения могут быть использованы при исследовании процессов тепломассопереноса  в системах обладающих фрактальной структурой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Соболев С.А. // Усп. физ. наук. 1997. Т.167. № 10. С. 1095.
  2. Абаржи И.И.  // Журн. физ. химии. 1999. Т.73. №11. С.1943.
  3. Тимашев С.Ф. //Российский хим. журн. 1997. Т.41. № 9. С.17.
  4. П.Берже, И.Помо, К.Видаль . Порядок в хаосе. М.:Мир, 1991. 368 с.
  5. Олемской А.И., Флат А.Я //Усп. физ.наук.1993.Т.163. №12.С.1.
  6. Гарднер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.:Мир. - 1986. 528 с.
  7. Самко C.Г., Килбас Ф.Ф., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного  порядка   и некоторые приложения. Минск. Наука и техника. 1987.688 с.
  8. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. New York .1974.234 р.
  9. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение// Нальчик. Изд-во КБНЦ РАН, 2000. - 299 с
  10. Нигматулин Р.И.  Дробный интеграл и его физическая интерпретация  //ТМФ. 1992. Т.90,  №3. С. 354-368.
  11. Батунин А.В. Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике андронов //УФН.1995. Т.165, № 6. С. 645-660.
  12. Зосимов В.В., Лямшев Л.М. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре // 1995. Т.166, № 4. С. 361 - 402.
  13. Мейланов Р.П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой //Письма ЖТФ. 1996.Т.22, № 23. С.40-43.
  14. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии//М.: Высш. шк., 1995.- 301 с.
  15. Мейланов Р.П. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации с дифференцированиеми дробного порядка //ИФЖ.2001. Т.74, № 2. С. 34-37.
  16. Мейланов Р.П., Янполов М.С.Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора //Письма в ЖТФ. Т.28, №1.С.67-73.
  17. Мейланов Р.П. Концепция фрактала в теории теплового поля земли.//Международная конференция «Тепловое поле Земли» Москва 2000 г.  С. 63-68.
  18. Р.П.Мейланов, Д.А. Свешникова, О.М. Шабанов.//ЖФХ. 2003, Т.77,№ 3, С. 260-264.
  19. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // ДУ 1990. Т.26, № 4. - С .660 - 670
  20. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени //Доклады Адыгской АН. 1994. Т.1,№ 1. С.17-18