Отсутствие адекватных количественных моделей процессов тепломассообмена в многокомпонентных системах со сложной пространственно- временной структурой, для которых характерны эффекты памяти, самоорганизации привело к тенденции пересмотра основных положений теории тепломассообмена. Одно из направлений связано с использованием принципа локальной неравновесности [1], что позволяет построить более последовательную теорию массопереноса в гетерогенных системах [2]. Другие направления связаны с использованием методов фликер-шума [3], детерминированного хаоса [4], концепции фрактала [5].
Одним из эффективных методов исследования процессов тепломассопереноса является метод основанный на применении стохастических дифференциальных уравнений [6]. В настоящей статье выводятся обобщенные уравнения Фокера-Планка в производых дробого порядка на основе уравнения Смолуховского-Эйнштейна. Рассматриваются решения некоторых частных случаев обобщенного уравнения Фокера-Планка и их приложения к теории теплопроводости. фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой.
Значительные успехи при рассмотрении кинетических явлений в системах с фрактальной структурой связаны с использованием формализма интегродифференцирования дробного порядка . Повышенный интерес к дифференциальным уравнениям дробного порядка [7-9] обусловлено их физической интерпретацией [10] . Было показано, что переход к производной дробного порядка по времени позволяет учитывать эффекты памяти системы [10]. Это и вызвало их широкое применение в механике, физике, биофизике экономике - практически во всех областях естествознания [11-16].
Область применимости решений дифференциальных уравнений дробного порядка значительно шире, чем дифференциальных уравнений с целочисленным дифференцированием, поскольку последние оказываются их частным случаем. Уравнения в производных дробного порядка, позволяют учесть процессы, в которых одновременно участвуют как обратимые, так и необратимые процессы [10,11]. Это позволяет не только получить принципиально новые результаты, но более глубоко осмыслить известные результаты, позволяя при этом, создать адекватные количественные модели исследуемых явлений
1. Обобщенное уравнение Фокера-Планка
В основе описания случайных процессов лежит уравнение Смолуховского-Эйнштейна, которое записывается для условной плотности вероятности имеет вид
[6]
(1)
Для вывода обобщенного уравнения Фокера-Планка исходим из выражения
(2)
где , производная дробного порядка определена соотношением [7]
(3)
Здесь Г(z) - гамма-функция Эйлера. С помощью соотношений (2), (3) уравнение Смолуховского- Эйнштейна (1) можно привести к виду
(4)
где введена функция
В дальнейшем мы воспользуемся разложением функции в обобщенный ряд Тейлора [7]
где . В результате уравнение (4) можно привести к виду
(5)
где введены функции
(6)
Функции - представляют собой обобщенные моменты. При
и
(6) переходит в обычное выражение для момента. В (6), произведя интегрирование по частям, окончательно получим следующее дифференциальное уравнение в производных дробного порядка
(7)
Уравнение (7) представляет собой обобщенное уравнение Фокера-Планка записанное в производных дробного порядка. Обобщенное уравнение Фокера-Планка (7) позволяет исследовать новый класс стохастических процессов, которые реализуются в системах с фрактальной структурой.
В дальнейшем рассмотрим различные модификации уравнения (7). В частности, предполагая, что для обобщенных моментов справедливо выражение
получим следующее уравнение
(8)
В случае и
уравнение (7) переходит в известное уравнение Фокера-Планка [6]. Таким образом, уравнение (7) представляет собой обобщенное уравнение Фокера-Планка.
Уравнение типа (7) лежит в основе различных задач тепломассопереноса. Уравнения типа (8) используются при исследовании задач тепломассопереноса.
1. В качестве применения уравнений типа (8) рассмотрим обобщенное уравнение теплопроводности [17 ]
где ,
,
- безразмерные время и координата,
- характерные временной и масштабный параметры,
- коэффициент температуропроводности.
Приложение уравнения обобщенной теплопроводности к задачам теории теплового поля земли в рамках концепции фрактала рассмотрено в работе. В частности в случае стационарного поля для распределения температуры в глубь земли получаем следующий результат .
Таким образом, распределение температуры имеет нелинейный характер.
2. Рассмотрим частный случай дифференциального уравнения
(9)
где .
В качестве функции может быть рассмотрена температура при рассмотрении задач теплопроводности, концентрация вещества при рассмотрении задач массопереноса [18], и распределения давления при рассмотрении задач гидродинамики [15 ].Решение уравнения зависит от вида начальных условий. Рассмотрим случай, когда начальное условие к уравнению (1) дается в виде
(10)
Задачу Коши (9),(10) решаем, совершая преобразование Фурье по переменной х
В результате уравнение (9) запишется в виде
решение которого, с начальным условием известно [7]
Здесь - функция Миттаг-Леффлера [7].
Отметим, что для целых функцию Миттаг-Леффлера можно свести к гипергеометрическому ряду. Например, при
=k=1,2,...n получим
где гипергеометрическая функция
Для определения исходной функции, совершая обратно преобразование Фурье, окончательно получим
(11)
Для -источника
и при
=1 решение (11) учитывая, что
, принимает известный вид
(12)
В остальных случая мы имеем новый класс решений.
В случае, например =1/2, 1/4 функция
принимает вид
Рассмотрим решение уравнения (7) когда задается начальное значение функции . В этом случае удобно использовать преобразование Лапласа. При использовании преобразования Лапласа существенно то, что в отличие от обыкновенной производной, когда имеет место соотношение
для дробной производной, как можно непосредственно убедиться имеет место соотношение . Для учета начального условия
необходимо его явно внести в уравнение и исходить из уравнения следующего вида [19]
(13)
Второе слагаемое в (13), по существу, есть результат действия дробной производной на начальное условие. Совершая, как и ранее сначала преобразование Фурье по переменной x и, затем преобразование Лапласа по переменной t получим для f(k,p) следующее выражение
что дает для искомой функции следующий результат
Рассмотрим случай, когда тогда
(14)
При решения (8) и (12) совпадают. Однако для остальных значений (
) эти решения существенно отличаются. Так, в отличие от решения (8) в (12) отсутствует сингулярный множитель
, а также отличается второй индекс функции Миттаг-Леффлера (
). В этом случае имеем следующие выражения функции Миттаг-Леффлера , например, для
:
где - неполная Гамма-функция. Характер решения (10) качественно не отличается от решения (5). Остановимся на решении задачи
(15)
для ограниченной области: , с краевыми условиями
при х=0 (16)
при x=
Эта задача для краевых условий первого рода рассмотрена в работе [20].
Используя метод разделения переменных окончательно получим следующее решение задачи (15,16)
(17 )
где, .
Здесь корни уравнения
Решение (17) при совпадает с известным ранее решением . В случае
принимает вид
(18 )
Поведение решения (14) при имеет степенной характер [14]
Это отличается от асимптотического поведения решения (12) который имеет экспоненциальный характер.
Полученные решения могут быть использованы при исследовании процессов тепломассопереноса в системах обладающих фрактальной структурой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Соболев С.А. // Усп. физ. наук. 1997. Т.167. № 10. С. 1095.
- Абаржи И.И. // Журн. физ. химии. 1999. Т.73. №11. С.1943.
- Тимашев С.Ф. //Российский хим. журн. 1997. Т.41. № 9. С.17.
- П.Берже, И.Помо, К.Видаль . Порядок в хаосе. М.:Мир, 1991. 368 с.
- Олемской А.И., Флат А.Я //Усп. физ.наук.1993.Т.163. №12.С.1.
- Гарднер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.:Мир. - 1986. 528 с.
- Самко C.Г., Килбас Ф.Ф., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. Минск. Наука и техника. 1987.688 с.
- Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. New York .1974.234 р.
- Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение// Нальчик. Изд-во КБНЦ РАН, 2000. - 299 с
- Нигматулин Р.И. Дробный интеграл и его физическая интерпретация //ТМФ. 1992. Т.90, №3. С. 354-368.
- Батунин А.В. Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике андронов //УФН.1995. Т.165, № 6. С. 645-660.
- Зосимов В.В., Лямшев Л.М. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре // 1995. Т.166, № 4. С. 361 - 402.
- Мейланов Р.П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой //Письма ЖТФ. 1996.Т.22, № 23. С.40-43.
- Нахушев А.М. Уравнения математической биологии//М.: Высш. шк., 1995.- 301 с.
- Мейланов Р.П. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации с дифференцированиеми дробного порядка //ИФЖ.2001. Т.74, № 2. С. 34-37.
- Мейланов Р.П., Янполов М.С.Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора //Письма в ЖТФ. Т.28, №1.С.67-73.
- Мейланов Р.П. Концепция фрактала в теории теплового поля земли.//Международная конференция «Тепловое поле Земли» Москва 2000 г. С. 63-68.
- Р.П.Мейланов, Д.А. Свешникова, О.М. Шабанов.//ЖФХ. 2003, Т.77,№ 3, С. 260-264.
- Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // ДУ 1990. Т.26, № 4. - С .660 - 670
- Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени //Доклады Адыгской АН. 1994. Т.1,№ 1. С.17-18