Ежегодно в письменной части профильного единого государственного экзамена по математике выпускникам предлагается решить задачу с параметрами (задание 18) [1]. Это задание относится к высокому уровню сложности, оценивается в четыре первичных балла (максимальный балл из возможных). Согласно опубликованным данным анализа результатов ЕГЭ [2; 3], за последние пять лет видна растущая заинтересованность учащихся в правильном выполнении задания с параметрами.
Проведенный анализ школьных учебников и задачников по алгебре и началам анализа позволяет сделать следующие выводы.
В задачниках Мордковича А.Г. [4-5] и Виленкина Н.Я. [6] представлен достаточно большой объем упражнений, требующих умения применять различные методы решений заданий с параметрами. В учебнике Алимова Ш.А. [7] материал по методам решения задач с параметрами представлен незначительно. В основном рассматривается аналитический способ решения.
В учебнике Колмогорова А.Н. [8] задачи с параметрами включены в раздел «Повторение. Задачи повышенной трудности». Разобранных примеров, иллюстрирующих методы решения задач с параметрами, не приводится.
Наиболее большой спектр заданий с параметрами представлен в сборнике задач Галицкого М.Л. [9]. В нем содержатся уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств первого и второго порядка с параметрами, для решения которых можно применять аналитический и (или) графический методы решения. Задания располагаются в порядке повышения сложности.
В школьных учебниках практически отсутствуют объяснения решений задач с параметрами. Существует множество пособий по решению таких задач [10-13]. Заметим, что они в основном ориентированы на хорошо подготовленных учащихся, тогда как в школьных программах по математике задачам с параметрами отводится небольшое количество времени, рассматривается небольшой круг заданий.
Умение решать задачи с параметрами является одним из важнейших показателей уровня математической подготовки и глубины освоения материала. В школьной программе 8–11 классов задачи с параметрами обычно рассматриваются в конце каждой темы, что позволяет учащимся обобщать и структурировать полученные знания. Решение задач с параметрами развивает способность анализировать и формирует навыки логического мышления.
Нужно отметить, что задачи, содержащие параметр, очень разнообразны, и при их решении используются различные методы (графический, аналитический, перебор вариантов, комбинированный и т.д.). Наибольшую трудность для учащихся как раз составляет выбор «правильного» метода, позволяющего обоснованно и с наименьшими затратами выполнить решение задачи.
Цель исследования: показать необходимость изучения школьниками метода, основанного на применении теоремы Виета, для решения систем уравнений с параметрами, сводящихся к квадратному уравнению. При этом на область допустимых значений переменной (ОДЗ) накладывается определенное условие, определяемое из условия задачи.
Материал и методы исследования. Рассмотрим следующую задачу. Дана система уравнений, которая сводится к квадратному уравнению вида
, (1)
содержащему параметр 
. При этом, исходя из условий задачи, область допустимых значений (ОДЗ) для неизвестной переменной 
имеет вид 
(2)
либо 
(3).
Дискриминант уравнения равен 
. Обозначим 
и 
соответственно больший и меньший корни уравнения (1).
Зачастую учащиеся пытаются непосредственно найти решения уравнения (1) и определить, при каких значениях параметра на ОДЗ попадает нужное число решений. В этом случае задача сводится к решению иррационального неравенства либо системы иррациональных неравенств.
Если требуется найти значения параметра , при которых уравнение (1) с ОДЗ (3) имеет два различных решения, получаем:
или 
. (4)
Если требуется найти значения параметра , при которых уравнение (1) с ОДЗ (3) имеет единственное решение, приходим к следующей совокупности систем уравнений и неравенств:
или 
. (5)
Если же для уравнения (1) с ОДЗ (3) требуется найти значения параметра , при которых оно имеет хотя бы одно решение, получаем
или 
. (6)
В том случае, когда дискриминант уравнения (1) является полным квадратом, решение систем (4), (6) либо совокупности (5) не вызывает у выпускников трудностей. В противном случае само по себе решение иррациональных неравенств – сложная задача, ведь каждое из этих неравенств, в свою очередь, сводится к решению системы неравенств и приводит чаще всего к ряду ошибок.
Для уравнения (1) при ОДЗ 
получаем аналогичную картину.
В пособиях [10; 12] для решения рассматриваемого класса задач используется графический метод, основанный на исследовании расположения корней квадратного трехчлена относительно нуля. Этот метод больше подходит учащимся с развитым визуальным восприятием.
Использование теоремы Виета подойдет учащимся, склонным к аналитическому мышлению. Предлагаемый метод позволяет, на наш взгляд, существенно упростить решение рассматриваемой задачи, избежав решения иррациональных неравенств.
Пусть дано квадратное уравнение
,
его дискриминант
, его корни 
и 
. Тогда получаем следующие условия (таблица).
Соответствие между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественно, данная таблица не подлежит заучиванию. Учащимся необходимо объяснить механизм приведенных соответствий, следующих из теоремы Виета.
Используя соответствия, представленные в таблице, при решении выше поставленной задачи приходим к системам, не содержащим иррациональных неравенств.
Если требуется найти значения параметра , для которых уравнение (1) при ОДЗ (3) имеет два различных решения, приходим к системе
или 
.
Для нахождения значений параметра , для которых уравнение (1) при ОДЗ (3) имеет единственное решение, получим:
или 
.
Для нахождения значений параметра , при которых уравнение (1) при ОДЗ (3) имеет хотя бы одно решение, получаем следующую совокупность систем неравенств:
или 
.
Уравнение (1) при ОДЗ 
или 
исследуется аналогично.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Найти значения параметра , при которых система уравнений
(7)
имеет а) два различных решения; б) единственное решение; в) хотя бы одно решение.
Решение. Из первого уравнения получаем
.
Поскольку для каждого значения переменной значение переменной 
находится однозначно, то число решений системы (7) при каждом из значений параметра соответствует числу решений системы
. (8)
а) Система (8) имеет два различных решения при
.
Окончательно, 
.
б) Система (8) имеет единственное решение при
.
Окончательно, 
.
в) Система (8) имеет хотя бы одно решение при
.
Окончательно, 
.
Находя корни квадратного уравнения непосредственно, имеем
содержащую иррациональное неравенство.
Пример 2. Найти значения параметра , при которых система уравнений
(9)
имеет
а) два различных решения; б) единственное решение; в) хотя бы одно решение.
Решение. Поскольку при 
первое уравнение системы не имеет решений, то рассматриваем только . Тогда из первого уравнения системы
.
Задача свелась к нахождению числа решений системы
(10)
в зависимости от параметра .
а) Система (10) имеет два различных решения, если
.
Окончательно, 
.
б) Система (10) имеет единственное решение при
.
Окончательно, 
.
в) Система (10) имеет хотя бы одно решение при
.
Окончательно, 
.
Заключение. Предложенный в статье метод решения задач достаточно легко усваивается учащимися. Навык использования теоремы Виета быстро развивается. Такой способ решения подойдет учащимся, склонным к аналитическому мышлению. Отметим, что важно познакомить выпускников со всеми методами решения задач с параметрами, поскольку зачастую при решении таких задач используется комбинированный подход.
Приведенные примеры иллюстрируют преимущество данного метода по сравнению с непосредственным нахождением корней, дальнейшей проверкой их попадания на ОДЗ и последующим определением значений параметра, удовлетворяющих условию поставленной задачи. При использовании данного метода, в отличие от стандартного метода, отпадает необходимость решения одного или нескольких иррациональных неравенств.
Библиографическая ссылка
Анисова Т.Л., Евсеева О.А., Чуев В.Ю. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ // Современные проблемы науки и образования. 2021. № 3. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=30869 (дата обращения: 03.04.2025).
DOI: https://doi.org/10.17513/spno.30869