На многих направлениях подготовки в технических вузах читается курс «Газодинамика» или подобный. Теоретические основы этой дисциплины приведены, например, в учебниках и учебных пособиях [1; 2]. Важным элементом усвоения этого курса является решение задач. Известны сборники задач по газодинамике [3-5], в которых для решения используются различные приближения. В данной работе делается акцент на составлении и решении задач в специальных приближениях, ограниченных с одной стороны – несжимаемыми течениями, а с другой – квазиодномерным приближением.
Квазиодномерная математическая модель применяется к течениям газа в каналах с переменной площадью сечения [6-8]. В литературе это приближение иногда называют просто одномерным, хотя для одномерного стационарного течения оставим закон сохранения массы в виде 
, а для квазиодномерного - 
. Тем более что для нестационарных течений дифференциальные уравнения этих приближений существенно отличаются [6]. Точная трактовка квазиодномерного приближения позволяет решать задачи, которые невозможно решить в одномерном [9].
Целью данной работы является расширение круга задач дозвуковой газодинамики, которые могут решаться в рамках таких приближений, как несжимаемость и квазиодномерность. Демонстрация таких задач и их решений носит методический характер, указывая на возможность подобных более простых решений. Такой подход позволяет более быстро получать предварительные инженерные решения.
Течения газа, при которых плотность остается постоянной, называются несжимаемыми. Если нет внешних тепловых и силовых воздействий на поток, то при небольших числах Маха 
плотность газа меняется незначительно и течения можно считать несжимаемыми. Общая система уравнений несжимаемых течений имеет вид
,(1)
где неизвестными являются давление и скорость - 
и 
. Плотность торможения, остающаяся постоянной, предполагается известной.
Учитывая уравнение состояния, процесс течения газа можно считать изохорным: 
. Таким образом, в приведенных ниже задачах можно считать, что в области течения газа меняются только его скорость, давление и температура.
Для несжимаемого течения выполняется закон сохранения объемного расхода 
. Он является следствием первого и второго уравнений системы (1).
Для воздуха приняты следующие значения параметров: показатель адиабаты - 
и газовая постоянная - 
.
Параметры стандартной атмосферы:
· давление - 
,
· температура - 
,
· плотность - 
.
Ускорение силы тяжести - 
.
Решение задач о внешнем обтекании тел различной формы
Задача 1. Самолетное крыло движется в воздухе со скоростью - 
(рис. 1) под нулевым углом атаки. Обтекание безотрывное. Длина верхнего обвода профиля крыла самолета 
, а нижнего - 
(рис. 1). Длина одного крыла - 
. Определить подъемную силу двух крыльев самолета и его максимальную грузоподъемность.
Решение.
1. При безотрывном обтекании крыла время течения верхней струи 
равняется времени течения нижней. В первом приближении считаем обтекание равномерным: 
и 
, отсюда 
.
2. Из уравнения Бернулли 
выразим разность давлений 
.
В итоге: подъемная сила крыльев 
и грузоподъемность 
.
Задача 2. Вентилятор мощностью 
и с фланцем диаметром 
всасывает воздух. Определить объемный расход и скорость воздуха за вентилятором.
Решение. Мощность вентилятора тратится не на продвижение воздуха по трубе, это другая задача, а на разгон атмосферного воздуха. Т.к. данных по к.п.д. в условиях задачи нет, то полагаем его равным единице. Тогда мощность 
.
1. Сила 
создается разностью давлений до и после вентилятора 
.
2. Выразив разность давлений из уравнения Бернулли, получим основное уравнение задачи 
.
В итоге: скорость будет 
. Объемный расход, соответственно - 
, 
.
Задача 3. С какой скоростью должен двигаться воздух в пульверизаторе (рис. 2), чтобы разбрызгивалась вода с плотностью 
, если 
?
Решение. Разность давлений за счет увеличения скорости течения, по уравнению Бернулли, должна поднять столб воды: 
. Таким образом, 
Задача 4. Невесомая пластина закреплена на пружине сверху от горизонтальной плоскости на расстоянии 
(рис. 3). Площадь пластины 
, жесткость пружины 
. Определить, с какой скоростью надо продувать воздух между пластиной и плоскостью, чтобы она опустилась вниз?
Решение. Разность давлений 
должна компенсировать силу упругости пружины. Выразив эту разность через скорость из уравнения Бернулли, получим уравнение 
, отсюда 
.
Решение задач о течении газа в различных конфузорных соплах
Задача 5. Дано конфузорное коническое сопло (рис. 4), радиус сечения которого определяется следующей зависимостью: 
, где радиусы входного и выходного сечений равны 
и 
, а длина сопла 
. Ось 
направлена по оси сопла. Скорость газа во входном сечении 
, а плотность 
. Давление на срезе - 
. Найти распределение скорости и давления по тракту сопла, а также скорость на срезе 
и давление на входе 
.
Решение. Объемный расход 
.
1. Распределение скорости найдем из постоянства объемного расхода 
или 
.
Отсюда 
.
2. Распределение давления найдем из уравнения Бернулли 
или 
.
Отсюда 
.
Задача 6. В первом сечении конфузорного сопла, диаметр которого - 
, скорость течения - 
. Диаметр среза, который находится на расстоянии 
от первого сечения, составляет 
. Полагая, что скорость возрастает линейно по тракту сопла, найти изменение диаметра 
по тракту сопла и скорость на срезе.
Решение. 1. Из закона сохранения объемного расхода: 
, следует 
, 
.
2. В условиях задачи распределение скорости по тракту сопла имеет вид: 
. Тогда 
и 
.
Таким образом, распределение скорости 
. Из закона сохранения объемного расхода диаметр канала изменяется по тракту сопла по гиперболической зависимости 
.
Задача 7. Радиус конфузорного сопла Витошинского задан следующей формулой: 
, где радиусы входного сечения 
, выходного - 
, длина 
, 
. Плотность газа составляет 
. Во входном сечении скорость 
, давление 
. Определить давление и скорость течения газа в выходном сечении и распределение скорости течения газа по тракту сопла.
Решение. Площади входного и выходного сечений сопла: 
, 
1. Определим объемный расход газа 
2. Скорость течения газа на выходе системы найдем из постоянства объемного расхода газа 
3. Из уравнения Бернулли определим полное давление газа 
.
В итоге: давление на выходе сопла 
. Из постоянства объемного расхода определим распределение скорости течения газа по тракту сопла 
или 
.
Задача 8. В условиях задачи 5 пусть левое (входное) сечение является стенкой. В область этого сечения подается газ, так что его параметры остаются такими же, как в задаче 5. Таким образом, это сопло становится реактивным. Прямым интегрированием силы давления газа, действующего на стенки сопла, найти силу тяги.
Решение.
1. Сила тяги состоит из положительной силы 
, действующей на входное сечение, и отрицательной 
, действующей на боковую поверхность (БП) конфузорного сопла: 
определяется легко: 
. Отрицательная составляющая на ось находится интегрированием по боковой поверхности: 
. С учетом, что 
для конического сопла, и выразив поверхностное интегрирование через образующую, будем иметь: 
. 
может быть выражен через образующую: 
.
2. Из решения задачи 5: 
и 
, тогда 
. Таким образом, вычисление отрицательной составляющей силы тяги сводится к двум интегралам: 
, где 
и 
. Вычисление этих интегралов дает 
и 
.
Окончательно отрицательная составляющая силы тяги будет иметь значение 
. Общая тяга сопла 
.
Задача 9. Вычислить отрицательную составляющую силы тяги для задачи 8, исходя из закона сохранения импульса в интегральной форме.
Решение.
1. Для объема между входным и выходным сечениями и боковой поверхностью (рис. 4) закон сохранения импульса может быть выражен через интегралы по торцевым (тп) и боковым поверхностям [4]: 
. Отсюда отрицательная составляющая силы тяги: 
.
2. После некоторых преобразований к такой же формуле можно прийти на основании работы [10]. Таким образом, отрицательная составляющая силы тяги находится по формуле: 
.
Окончательно 
, что с точностью вычислений совпадает с результатом задачи 8.
В заключение отметим, что квазиодномерное приближение может учитывать такие дополнительные явления, как изменение конфигурации канала с течением времени, например выгорание теплозащитного покрытия высокотемпературных сопел; поглощение газа стенками канала, например за счет конденсации; теплообмен газа со стенками канала, нарушающий изоэнтропичность течения [6; 9] и т.п.
Представленные задачи можно решать с учетом сжимаемости течений газа. Для этого необходимо использовать газодинамические функции. В качестве упражнений можно рассмотреть вопросы точности приведенных решений с учетом сжимаемости.
Библиографическая ссылка
Косолапов Е.А., Михалко А.Э. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КВАЗИОДНОМЕРНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2018. – № 4. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=27817 (дата обращения: 20.04.2024).