Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,682

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕССА СУШКИ КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТОГО ТЕЛА

Гороховский А.Г. 1 Шишкина Е.Е. 1 Чернышев О.Н. 1
1 ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет»
При аналитическом решении систем дифференциальных уравнений в частных производных тепломассообмена бесконечные суммы в выражениях для температуры и влаги обычно аппроксимируют двумя первыми членами ряда Тейлора. При этом точность решения составляет 1–2%. Нами разработан новый аналитический метод решения характеристического уравнения подобной системы дифференциальных уравнений, который позволяет аппроксимировать решение 8 первыми членами ряда. При этом ожидаемая точность решения может составлять на более 0,01–0,02%. На основе предложенного метода решения системы дифференциальных уравнений в частных производных тепломассообмена в вычислительной среде MathCad была создана программа для анализа кинетики сушки с использованием встроенной функции «V-polyroots (V)». Программа также позволяет графически интерпретировать результаты решения, в том числе и трехмерной графикой.
система дифференциальных уравнений.
система оптимального быстродействия
сушка древесины
1. Гороховский А.Г. Повышение эффективности управления процессом сушки пиломатериалов / А.Г. Гороховский. – Екатеринбург: УГЛТУ. – 2007. – 127 с.
2. Гороховский А.Г., Шишкина Е.Е., Чернышев О.Н. Оптимальное управление процессами тепломассообмена при конвективной сушке древесины // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. (Электронный журнал) URL: http://www.science-education.ru/120-16670 (дата обращения: 16.07.2015).
3. Кирьянов Д.В. Mathcad – 12 / Д.В. Кирьянов / СПб.: БХВ – Петербург. – 2005. – 576 с.
4. Лыков А.В. Теория тепло- и массопереноса / А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. – М.: Госэнергоиздат. – 1963. – 535 с.
5. Лыков А.В. Теория переноса энергии и вещества / А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. / Минск: АН БССР. – 1959. – 330 с.
Процесс сушки капиллярно-пористого тела (например, древесины) описывается системой дифференциальных уравнений (ДУЧП) тепломассообмена [1, 4].

Для неограниченной пластины в критериальной форме система ДУЧП приобретает вид:

 

     (1)

где  ,  —  безразмерная координата;

Т –  безразмерная температура;

U –   безразмерное влагосодержание;

Fo –  критерий Фурье;

Lu – критерий взаимосвязи тепло- и  массопереноса;

Ko – критерий Коссовича;

Pn – критерий Поснова.

Система (1) может быть решена при различных начальных условиях. В случае низкотемпературной сушки они характеризуются следующим:

1) потенциалы переноса среды постоянны;

2) начальное распределение потенциалов переноса внутри тела постоянное (что, по мнению А.В. Лыкова [4, 5], соответствует стадии прогрева влажного тела и периода постоянной скорости сушки) либо параболическое (что соответствует падающей скорости сушки).

Следует отметить, что случай параболического распределения потенциалов носит более общий характер.

В данном случае система (1) решается при граничных условиях III рода:

                   (2)

                                                  (3)

условиях симметрии:

                                     (4)

и начальных условиях:

                                                       (5)

                                                       (6)

где  Bi – критерий Био;

Kim – массообменный критерий Кирпичева;

Bim – массообменный критерий Био;

un – влагосодержание на поверхности тела;

            —  симплексы неравномерности начального распределения потенциалов тепло- и массопереноса;

tп, tц, uп, uц – соответственно температура и влагосодержание поверхности и центра сортимента.

Решение системы (1) имеет вид:

,                                             (7)

,                    (8)

где

                                               (9)

                       (10)

                                              (11)

                              (12)

                      (13)

    (14)

                                   (15)

                       (16)

 

 — корни характеристического уравнения

 

                                          (17)

 

В литературе [4, 5] приводятся некоторые решения (17), полученные графоаналитическим методом. Однако для максимального использования возможностей решения (7)–(17) необходимо хотя бы приближенное аналитическое решение характеристического уравнения (17).

Введем обозначения:

       

    

,         ,

                                                                       (18)

 

После разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора и преобразований получим:

    (19)

 

Уравнение (19) представляет собой полином 8-й степени относительно х и имеет вид:

                      (20)

 

После преобразований и подстановки значений из (18) коэффициенты имеют значения:

 

 

 

                                                                  (21)

 

В результате решения преобразованного характеристического уравнения мы можем найти 8 первых корней уравнения (17), точнее их первых приближений.

По мнению А.В. Лыкова и Ю.А. Михайлова, при замене бесконечных сумм в (7) и (8) двумя первыми членами ряда по числу корней характеристического уравнения точность вычислений может составлять 1–2%, а при количестве членов 6 и более точность может составлять  0,01–0,02%.

Предлагаемое нами решение дает возможность заменить бесконечную сумму 8 первыми членами, что позволяет говорить о точности вычислений не ниже 0,01–0,02%.

На основе предложенного метода решения системы ДУЧП тепломассообмена в вычислительной среде Mathcad-12 [2, 3] была создана программа для анализа кинетики сушки пиломатериалов.

Для нахождения корней полиномов типа (20) в Mathcad есть встроенная функция типа «V – polyroots (V)».

Пример графической интерпретации результатов решения системы ДУЧП (1) (рис. 1).

 

 

 

 

 

 
 

                           а)

                                 б)                                                                      в)

Рис. 1.  Кинетика сушки пиломатериалов  порода – сосна, толщина – 40 мм; Wн = 60%, Wк = 12%; режим – нормативный.

а)  Изменение влажности древесины во времени:

     1 – средняя влажность;

     2 – внутренние слои;

     3 – наружные слои.

б) Распределение влажности в пространстве параметров времени и  толщины доски.

в)  Распределение влажности по толщине в различные моменты времени

 

Рецензенты:

Санников А.А., д.т.н., профессор кафедры технической механики и оборудования целлюлозно-бумажных производств ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г.Екатеринбург;

Уласовец В.Г., д.т.н., профессор кафедры механической обработки древесины ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет», г.Екатеринбург.


Библиографическая ссылка

Гороховский А.Г., Шишкина Е.Е., Чернышев О.Н. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕССА СУШКИ КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТОГО ТЕЛА // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=21016 (дата обращения: 27.05.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252