Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

АЛГОРИТМ ДЕКОМПОЗИЦИОННОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Павлова Н.В. 1 Григорьев В.Г. 1 Семенов В.И. 1 Желтов П.В. 1
1 ФГБОУ ВПО "Чувашский государственный университет им.И.Н.Ульянова"
За последние десятилетия для преобразования сигналов с целью их анализа, отчистки от шумов и сжатия содержащейся в них информации все большее применение находят методы вейвлет-преобразования сигналов. В статье рассматривается разработанное авторами алгоритм вейвлет-преобразования изображений, основанный на разложении сигналов на множество уровней декомпозиции. В качестве вейвлетов использованы производные функции Гаусса, применение которых повышает точность вейвлет-преобразования. Для обеспечения быстродействия расчеты выполняются применением быстрого Фурье-преобразования. Приведены результаты применения разработанного алгоритма для преобразования изображений. Сравнение полученных результатов преобразования с результатами, полученными на основе алгоритма Малла с применением вейвлета Добеши-1 показывает, что точность преобразования с использованием предлагаемого алгоритма выше, чем с применением алгоритма Малла. При этом обеспечивается более высокое быстродействие процесса преобразования сигналов. Рассматриваемый алгоритм вейвлет-преобразования изображений может быть использован для решения различных задач преобразования изображений.
непрерывное быстрое Фурье-преобразование.
декомпозиция сигнала
непрерывное вейвлет-преобразование
1. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. Пер.с анг. М.: Связь, 1980.-2487с.
2. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике.- М.: СОЛОН-Р, 2002. – 446 с.
3. Дьяконов В.П. MATLAB и SIMVLINK для радиоинженеров.-М.: ДМК Пресс.2011-
976с.
4. Новиков И.Я. Теория всплесков/ И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина.- М.:Физматлит, 2005.- 616 с.
5. Рабинер Л.,Лоульдб. Теория и применение цифровой обработки сигналов. –М.: Мр, 1978-848с.
6. Семенов В.И. Непрерывное быстрое вейвлет-преобразование. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2007615024 зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 04.12.2007г.
7. Семенов В.И., Желтов П.В. Непрерывное быстрое m + 1 шаговое вейвлет-преобразование. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009616896 зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.12. 2009 г.
Стремление к представлению сложных сигналов в унифицированной форме привело к появлению Фурье-преобразования сигналов. В связи с развитием электронных систем хранения  и передачи информации (радиотехники, телекоммуникационных систем, компьютерных сетей)  роль задач математической обработки сигналов возросла [1,5].

За последние десятилетия быстро развиваются методы обработки и анализа информационных сигналов с применением вейвлет-преобразования [4]. Они позволяют исследовать свойства нестационарных сигналов, благодаря операциям масштабирования и сдвига. Разработаны вейвлеты для обработки изображений, обеспечивающие сжатие, декомпозицию, реставрацию, идентификацию изображений, а также удаление из них шумов. Имеются стандартные программные средства для осуществления вейвлет-преобразований функций в таких программных системах, как MATLAB, Mathcad, Mathematica [2,3].

Цель исследования

Целью проведенных исследований являлась разработка более быстродействующего   алгоритма по сравнению с известными алгоритмами вейвлет-преобразования изображений при обеспечении требуемого качества преобразования.

Материал и методы  исследования

            В данной статье рассматривается результаты применения предлагаемого алгоритма  вейвлет-преобразования изображений [6,7]. Информация об изображении представляется в виде  двумерного сигнала и производится разложение изображения на множество уровней декомпозиции. Алгоритм характеризуется следующими особенностями:

1. Аналогично дискретному вейвлет-преобразованию гильбертово пространство сигналов L2(R) представляется совокупностью вложенных друг в друга  подпространств.  Порядок m  подпространства определяет уровень декомпозиции сигнала[4].

                                               .

Размеры подпространств растут по мере уменьшения порядка m их уровня. Пересечение этих подпространств образуют пустое множество, а их объединение образует пространство L2(R)  .        

По мере уменьшения порядка подпространства обеспечивается выявление более мелких деталей сигнала, несущего информацию об изображении. Это позволяет переходить от более низкого к более высокому уровню разрешения изображения.

2. В качестве вейвлетов использованы производные функции Гаусса. Они имеют аналитическое описание, лучше локализованы во временной и частотной области, являются симметричными функции. Базисная функция является гладкой. Применение этих функций обеспечивает достаточно высокую точность вейвлет-анализа сигналов.

3. Для обеспечения возможности обработки сигнала в реальном масштабе времени расчеты параметров вейвлет-преобразования осуществляются с применением быстрого Фурье-преобразования.

Для вычисления вейвлет-спектра сигнала на основе производных функции Гаусса и функции Шеннона используется  формула непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                        (1)

 где   а – масштабный коэффициент,    b – параметр сдвига вейвлета.

Для вычисления вейвлет-преобразования прямым численным интегрированием требуется относительно много времени, поэтому вейвлет-спектр вычисляется в частотной области с применением быстрого преобразования Фурье (БПФ). При этом вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда , сигнала S(k) с использованием БПФ :

                                              (2)

                                              (3)

Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда a2(n), b2(n) вейвлета ψ(k) с использованием БПФ:

                                            (4)

                                              (5)

Вычисляется комплексно сопряженный спектр:

,                                            (6)

.                                        (7)

Для четного вейвлета вычисляется левая часть суммы, для нечетного вейвлета ‑ правая часть суммы.

Вейвлет-спектр W(a,b) (матрица вейвлет-коэффициентов М×N) для входного анализируемого сигнала длиной N отсчетов получается путем вычисления М обратных преобразований Фурье от комплексно сопряженного спектра по формуле:

.                                  (8)

При этом вейвлет-преобразование осуществляется для всего изображения, пилообразной разверткой по строкам и столбцам. В отличие от алгоритма Малла, данный алгоритм позволяет получать гораздо больше уровней разложения, тем самым позволяет более подробно исследовать изображение.

Устройство, реализующее алгоритм двумерного быстрого непрерывного вейвлет-    преобразования, приведено на рис. 1, где: блок 1 – аналого-цифровой преобразователь (АЦП), блок 2 – оперативное запоминающее устройство (ОЗУ), блок 3 – блок развертки по строкам (РХ), блок 4 – блок развертки по столбцам (РУ),блоки 5, 6 – вычислители непре-рывного быстрого вейвлет-преобразования (НБВП), блок 7 – постоянное запоминающее устройство (ПЗУ), блок 8 – устройство управления (УУ).

Принцип действия устройства заключается в следующем. Анализируемый двумерный сигнал S(x,y) поступает на вход блока 1, с выхода которого полученная дискретная выборка S(n,n)   поступает на вход блока 2.

       Рис.1. Блок-схема устройства двумерного прямого быстрого вейвлет-преобразования

С выхода этого блока двумерная выборка сигнала одновременно поступает на  входы блоков 3 и 4, с выходов которых одномерные сигналы с количеством отсчетов n x n  поступают на  входы блоков 5, 6. С выходов этих блоков снимаются результаты вейвлет-преобразования сигнала в виде массива значений вейвлет-коэффициентов масштабов (М) и сдвигов (N). Блок 8 управляет процессом функционирования устройства.

Данное устройство позволяет выбирать для анализа двумерного входного сигнала различные типы вейвлет-функций с произвольным шагом дискретизации масштабных коэффициентов в блоке 7.

         Устройство, реализующее алгоритм двумерного обратного быстрого непрерывного вейвлет-преобразования, приведено на рис. 2, где: блоки 1, 2 – вычислители непрерывного обратного быстрого вейвлет-преобразования (НОБВП), блок 3 – постоянное запоминающее устройство (ПЗУ), блоки 4, 5 – оперативные запоминающие устройства (ОЗУ), блоки 6, 7 – блоки преобразования одномерного массива в двумерный массив (ХП, УП), блок 8 – сумматор(СУМ), блок 9 – устройство управления (УУ).

Принцип действия устройства заключается в следующем. Два вейвлет-спектра W(m,n) поступают на входы блоков  1, 2, с выходов которых  реконструированные сигналы S1(n),  S2(n) поступают на входы блоков 4, 5. С выходов этих блоков сигналы поступают на  входы блоков  6 и 7 преобразования одномерного сигнала в двумерный сигнал. Из блоков 6, 7, двумерные сигналы  поступают на  вход блока 8. В блоке 8 вычисляется сумма двух двумерных массивов, элементы которых предварительно делятся на два.

                     

       Рис. 2. Блок-схема устройства двумерного обратного быстрого   вейвлет-преобразования

С выхода блока 8 снимаются результаты обратного быстрого непрерывного вейвлет-преобразования двумерного сигнала в виде массива значений S(n,n). Устройство управления обеспечивает взаимодействие блоков устройства.

          Данное устройство позволяет выбирать различные типы вейвлет-функций с произвольным шагом дискретизации масштабных коэффициентов, хранящиеся в блоке 3 для синтеза двумерного сигнала.

           Результаты исследования и их обсуждение

На рис.3 приведены результаты применения разработанного алгоритма для преобразования заданного изображения. Декомпозиция изображения выполнена на 18 уровнях. Изображение содержит 512х512 пикселей. В отличие от алгоритма декомпозиции сигнала Малла количество уровней разложения здесь в два раза больше, так как изображение обрабатывается не по строкам и колонкам, а пилообразной разверткой по вертикали и горизонтали. При обработке цветного изображения необходимо производить вычисление отдельно для каждого из цветов  (красного, зеленого и синего). На этом рисунке  представлены результаты разложения изображения на 1-ом, 3-ем и 7-ом порядках уровней декомпозиции. Из рисунка следует, что с увеличением порядка уровня подпространства мелкие детали изображения исчезают.

Для оценки полученных результатов на рис. 4 представлены результаты разложения этого же изображения на 2-ом, 4-ом и 5-ом порядках уровней декомпозиции  с использованием алгоритма Малла с применением вейвлет Добеши-1, входящего в состав программных средств  MATLAB [2,3].

 Из визуального сравнения рисунков 3 и 4 следует, что качество преобразования изображения, полученное с использованием алгоритма Малла хуже, чем по рассматриваемому алгоритму. Это обусловлено тем, что дискретные вейвлеты несимметричные и негладкие функции.

                                            а) 

 

                                              б)

 

                                                          в)

 

Рис. 3.  Виды декомпозиции изображения, полученные с использованием

 нового алгоритма при разных значениях m:a) –m = 1;  б) – m = 3;   в) – m = 7

В случае обратного вейвлет-преобразования сначала в заданном изображении представляются мелкие, а затем поэтапно добавляются крупные детали. Получаемое при этом изображение становится все более близким к оригиналу.

                                              а)

 

                                              б)

 

                                             в)

 

Рис. 4. Виды декомпозиции изображения, полученные с использованием

алгоритма Малла при разных значениях m: a) –m = 2;  б) – m = 4;   в) – m = 5

Время вычисления рассматриваемого вейвлет-преобразования в частотной области определяется в основном вычислениями обратного быстрого преобразования Фурье комплексно сопряженного спектра сигнала и вейвлета, так как спектр сигнала вычисляется один раз, а спектр вейвлетов с разными масштабными коэффициентами можно вычислить заранее и хранить в памяти. Вычисление комплексно  сопряженного спектра и последующее обратное БПФ для разных масштабных коэффициентов занимает основное время ВП. Вейвлет-спектр при больших масштабных  коэффициентах имеет почти одинаковое значение для многих значений параметра сдвига, поэтому нет необходимости вычислять ВП для каждого значения параметра сдвига, не превышая интервал Котельникова-Найквиста.

Заключение

Рассматриваемый алгоритм вейвлет-преобразования может быть использован во многих задачах преобразования изображений. Такими задачами являются обзорные операции, определение параметров объекта, идентификация и распознавание объектов, определение координат, сжатие информации об изображении. Таким образом, рассматриваемый алгоритм обработки сигналов является  удобным для применения, относительно простым в реализации и обладает существенным быстродействием, при обеспечении требуемого качества преобразования изображений.                                                      

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №14-07-00143

Рецензенты:                                                          

Артемьев И.Т., д.ф.-м.н., профессор кафедры  математического и аппаратного обеспечения информационных систем, ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н.Ульянова», г. Чебоксары;

Славутский Л.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры управления и информатики ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н.Ульянова», г. Чебоксары.


Библиографическая ссылка

Павлова Н.В., Григорьев В.Г., Семенов В.И., Желтов П.В. АЛГОРИТМ ДЕКОМПОЗИЦИОННОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=16273 (дата обращения: 22.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252