Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧАЩЕГОСЯ

Романов В.П., Соколова Н.А.
Показано, что знанию человека, являющемуся продуктом сознания, свойственны неопределённость и случайность. В связи с этим для описания поведения учащегося в процессе обучения в высшем учебном заведении использован вероятностно-статистический метод, в соответствии с которым каждый учащийся идентифицируется функцией распределения, определяющей вероятность нахождения его в некоторой области информационного пространства. Получено аналитическое решение уравнения непрерывности для функции распределения индивидуума, движущейся в информационном пространстве с произвольной зависимостью средней скорости от координаты. Ключевые слова: учащийся, знание, случайность, информация, информационное пространство, плотность вероятности, функция распределения, вероятностно-статистическая модель.

Введение

В настоящее время вопросы анализа состояния и прогнозирования развития системы образования в целом и учебно-воспитательного процесса (УВП) в любом учебном заведении приобретают чрезвычайно важное значение. Это обусловлено рядом причин, основная из которых та, что образование, являясь в известной степени консервативным, не удовлетворяет современным требованиям научно-технического прогресса. Часто говорят даже о кризисе образования в современном мире. При прогнозировании тенденций развития образования нередко ограничиваются лишь абстрактным теоретизированием и широкими обобщениями, далёкими от реальной действительности. В связи с этим мероприятия, проводимые по совершенствованию системы образования, в большинстве случаев оказываются малоэффективными.

Добиться положительного эффекта при проведении мероприятий, направленных на совершенствование системы образования, можно лишь в случае разработки концепции развития образования, основанной, прежде всего, на знании того, что такое «учащийся» в широком понимании этого термина и как он взаимодействует, например, с профессорско-преподаватель-ским коллективом высшего учебного заведения в процессе получения образования. Концепция должна также включать стратегию реформирования структуры системы образования, направленную на обеспечение оптимальных условий для реализации творческих возможностей каждым учащимся. Данная работа посвящена обоснованию и развитию вероятностно-статистической модели учащегося [1, 2], позволяющей проводить анализ и прогнозирование состояние УВП в высшем учебном заведении, на основании которых предлагать меры по совершенствованию структуры системы высшего образования.

Характер человеческого знания

Учение как вид деятельности, цель которого приобретение человеком знаний, умений и навыков, зависит от уровня развития сознания учащегося. Исследование явлений человеческого сознания представляет собой чрезвычайно трудную задачу. Это связано с принципиальной непосредственной ненаблюдаемостью его механизмов. Ученые, придерживающиеся материалистических взглядов, считают сознание свойством высокоорганизованной материи (мозга человека) давать идеальное отражение реального мира и его представление в виде обобщённых образов и понятий. В структуру сознания входят такие познавательные процессы, как ощущение, восприятие, память, мышление, воображение. Анализ этих процессов показывает, что им присущи элементы неопределенности и случайности, обусловленные принципиальной невоспроизводимостью в полном объёме психосоматического состояния индивидуума и параметров внешней среды от эксперимента к эксперименту, а также физиологическим, психологическим и информационным шумами при работе головного мозга. Последнее привело при описании процессов мышления к отказу от использования модели детерминистской динамической системы в пользу модели случайной динамической системы [3].

Из сказанного выше следует, что детерминизм сознания, проявляющийся в объективном отражении реальности в мозге человека, реализуется через случайность. Отсюда можно заключить, что знания человека, являющиеся фактически продуктом сознания, также имеют случайный характер. Это утверждение не противоречит жизненному опыту. Действительно, при первом знакомстве человека с тем или иным предметом (явлением) объём информации, усвоенный индивидуумом, может быть весьма скудным, причём он зависит от уровня развития сознания, физиологического и психического состояния человека, внешних условий и интервала времени ознакомления. При повторном изучении данного объекта к информации, систематизированной индивидуумом, добавляется новая информация, которая даже может привести к коренному изменению представлений об объекте исследований. В результате этого объём и глубина знаний увеличиваются. С течением времени, когда человек не работает с данным объектом, объём и глубина знаний о нём уменьшаются. Это связано с целым рядом причин, например, при переходе информации в долговременную память происходит её частичная потеря, индивидуум не в состоянии в нужный момент времени извлечь всю необходимую информацию из долговременной памяти, на микроуровне идёт процесс разрушения некоторых синаптических связей, ответственных за хранение информации об объекте и т. п. Процессы познания протекают строго индивидуально. Об этом свидетельствует тот факт, что объём и глубина знаний, усвоенных учащимися в одних и тех же внешних условиях, различны. Из вышесказанного можно заключить, что для описания процесса познания может быть использован вероятностно-статистический метод.

Модель поведения индивидуума в процессе обучения

Под термином «знание» будем понимать количество информации, усвоенной индивидуумом в процессе размышлений и рассуждений. В процессе обучения человек фактически движется в информационном пространстве. Однако указать точное положение учащегося в информационном пространстве невозможно, так как знание несёт в себе элемент случайности. Следовательно, можно говорить лишь о вероятности нахождения индивидуума в той или иной области информационного пространства. Учитывая вероятностный характер знания человека, в качестве объективной характеристики, определяющей поведение индивидуума в процессе обучения, может быть принята функция распределения (плотность вероятности), т. е. вероятность найти положение учащегося в единичной области информационного пространства. Каждый студент обладает индивидуальными свойствами, то есть допускается независимая локализация (пространственная и кинематическая) индивидуумов друг относительно друга в фазовом информационном пространстве. В этом случае функция распределения для коллектива индивидуумов может быть введена следующим образом [1, 4]:

f,                                 (1)

где f - функция распределения индивидуумов в фазовом информационном пространстве; f - координаты индивидуумов в информационном пространстве; f - скорости учащихся; f,  и т. д. - ускорения первого, второго и т. д. порядков соответственно; N- общее число учащихся;dN- число индивидуумов в фазовом пространстве объёма f; t- время.

Функция распределения удовлетворяет условию нормировки, которое означает, что вероятность найти индивидуумы во всем фазовом информационном пространстве равна единице:

f.

Используя свойство аддитивности функции распределения по отношению к различным кинематическим свойствам индивидуумов, можно показать, что функции распределения меньшего числа измерений естественным образом связаны с функциями распределения бóльшего числа измерений:

f,

f,

f,    (2)

Свойство аддитивности функций распределения позволяет также получить выражения, связывающие функцию распределения для каждого индивидуума с функцией распределения для всей системы:

f,

f,

f,   (3)

где f, f,... - функции распределения различного числа независимых переменных для k-го индивидуума.

Из (3) следует, что каждый индивидуум в информационном фазовом пространстве фактически представляется в виде некоторой функции распределения, содержащей информацию о разбросе координат и кинематических величин - скоростей и ускорений всех порядков.

Закон сохранения числа индивидуумов позволяет записать дифференциальные уравнения в виде уравнений непрерывности, описывающих эволюцию функций распределения:

f,

f, (4)

Система уравнений (4) ещё не представляет замкнутого аппарата для решения практических задач, так как помимо конкретизированных независимых переменных содержит и неконкретизированные величины, например, f для функции распределения f, f для функции распределения f и т. д. Применим к уравнениям (4) операции интегрирования типа

f,    f     .

В результате после несложных преобразований, аналогичных [4], будем иметь

f,

ff,(5)

Система уравнений (5) представляет собой бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений, каждое из которых связывает между собой две функции распределения меньшего и бóльшего количества переменных. Для обрыва этой цепочки уравнений воспользуемся дополнительной информацией, которую может дать опыт, а именно, информацией о средних значениях величин скорости f и ускорений первого f, второго f и более высоких порядков:,

f,

f(6)

Учитывая (2) и (6), преобразуем (5) к виду

f,

f

f,(7)

Система уравнений (7) в отличие от (5) не является системой зацепляющихся уравнений. Каждое из уравнений (7) может быть решено самостоятельно, если известны f, f и т. д. соответственно. Следует отметить, что обрыв цепочки зацепляющихся уравнений ведёт к потере информации о разбросе ускорений, начиная с некоторого порядка. Из всех уравнений системы (7) лишь первые два, по-видимому, допускают аналитические решения. Проведём подробный анализ первого уравнения из системы (7):

f.                           (8)

Воспользуемся свойством аддитивности функции распределения для системы индивидуумов  по отношению к функциям распределения отдельных индивидуумов:

f.                                       (9)

Подставляя (9) в (8), получим

f.             (10)

Из (10) непосредственно следует, что уравнение непрерывности для функции распределения k-го индивидуума имеет вид

f.                       (11)

С другой стороны уравнение непрерывности для функции распределения k-го индивидуума может быть записано в виде

f,                          (12)

где

f.

Из сравнения (11) и (12) следует, что

f.

Введём следующие переобозначения:

f.

Тогда уравнение непрерывности (12) для функции распределения любого произвольно взятого индивидуума примет следующий вид:

f.                                    (13)

Общее решение в координатном пространстве

Перепишем уравнение (13), раскрыв в нём слагаемое, относящееся к дивергенции плотности потока вероятности:

f.                          (14)

Найдем общее решение уравнения (14) для произвольной зависимости средней скорости от координаты. Воспользуемся методом Фурье. С этой целью представим f в виде произведения двух функций, одна из которых f зависит только от координаты, а другая f - только от времени:

f.                                                 (15)

Подставляя (15) в (14), после несложных преобразований будем иметь

f.                    (16)


В левой части полученного уравнения стоит функция, зависящая только от t, а в правой части только от σ, и, следовательно, равенство возможно лишь в том случае, если левая и правая части равны одной и той же постоянной, обозначим которую буквой β. В этом случае уравнение (16) распадается на два уравнения:

f          и       f   ,

общие интегралы которых имеют вид

f       и     f     ,                 (17)

где A и B - постоянные интегрирования.

Подставляя (17) в (15), получим

f,                              (18)

где f - новая постоянная интегрирования, соответствующая данному значению β.

Общее решение для индивидуальной функции распределения можно представить как суперпозицию решений (18):

f,                        (19)

где f - постоянная интегрирования, зависящая от β, и нормированная на единичный интервал β.

Анализ решений (18) и (19) показывает, что выполнение условия нормировки

f

возможно только в том случае, когда  является чисто мнимой величиной. Обозначим f, где ω - действительная величина, f - мнимая единица. Тогда решение (19) примет вид

f

f,                                (20)

где f и f - постоянные интегрирования, зависящие от ω, и нормированные на единичный интервал ω.

Для получения решения (20) в явном виде необходимо знать зависимость f от f. Рассмотрим интересный с теоретической и практической точек зрения случай, когда средняя скорость движения учащегося в информационном пространстве не зависит от координаты ( f).

В этом случае уравнение (14) принимает вид

f,                                (21)

а общее решение (20) может быть легко преобразовано к виду

f,

где f - волновое число; f - постоянная интегрирования, зависящая от ω, и нормированная на единичный интервал частот; f - начальная фаза для частоты ω.

Из (21) непосредственно следует, что его решением должна быть функция аргумента f, т.е. f. В этом легко убедиться, подставив данную функцию в (21). Явный вид функции распределения f может быть найден из (21), если известно начальное распределение плотности вероятности f.

Выводы

1. Знания человека, являющиеся продуктом его сознания, обладают свойствами неопределённости и случайности, следовательно, измерить точно объём и глубину знаний учащегося не представляется возможным. Для решения этой задачи предлагается использовать вероятностно-статистический метод.

2. В процессе обучения индивидуум движется в информационном пространстве, в котором он идентифицируется функцией распределения, определяющей вероятность нахождения его в той или иной области пространства.

3. На основе решения уравнения непрерывности найдено аналитическое выражение функции распределения учащегося, распространяющейся в информационном пространстве и во времени для случая произвольной зависимости средней скорости от координаты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  • 1. Романов В.П., Гордиевич Л.А., Золочевский Ю.Б. Альтернативная структура системы непрерывной подготовки высшими учебными заведениями специалистов высокой квалификации // Деп. в НИИВШ, 01.09.88, № 1389 - 88 деп.
  • 2. Вернер В.Д., Гордиевич Л.А., Золочевский Ю.Б., Романов В.П. Вероятностно-статистический метод анализа и прогнозирования состояния учебно-воспитательного процесса на различных этапах системы непрерывного образования // Теоретико-методологи-ческие и прикладные проблемы развития единой системы непрерывного образования: Материалы конференции / Отв. ред. Б.С. Гершунский. - М., изд. АПН СССР, 1990. - Часть 2. - С. 56-60.
  • 3. Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 296 с.
  • 4. Власов А.А. Статистические функции распределения. - М.: НАУКА, 1966. - 356 с.

Библиографическая ссылка

Романов В.П., Соколова Н.А. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧАЩЕГОСЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2009. – № 6-3.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=1444 (дата обращения: 04.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074