Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

К ВОПРОСУ РАСЧЕТА СЖАТЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ МГНОВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА

Елистратов В.Н. 1
1 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»
В статье обозначена проблема, связанная с неучетом аналитической зависимости, аппроксимирующей криволинейную диаграмму с ниспадающим участком мгновенного деформирования бетона, при построении уравнений ползучести бетона, а также при расчете сжатых железобетонных элементов на устойчивость при высоких уровнях загружения, когда проявляются нелинейные деформации ползучести. Установлено, что применение закона Гука для описания связи между мгновенными деформациями и напряжениями в бетоне при уровнях загружения более 0,45R приводит к несоответствию теоретических выкладок и проведенных экспериментов. В данной научной работе предложен способ по разрешению этой проблемы путем приведения формулы Саржина, описывающей связь«σb– εb», приведенной в Еврокоде 2, к удобному виду для практического применения (полиному пятой степени) и ее внедрения в существующие уравнения ползучести вместо закона Гука. В дальнейшем это позволило получить аналитическое уравнение для определения коэффициента ползучести бетона, который нормируется в российских и европейских правилах проектирования бетонных и железобетонных конструкций и используется в расчетах сжатых железобетонных элементов на длительно действующие нагрузки.
касательный модуль полных деформаций
критическая сила
параметр нелинейной ползучести бетона
характеристика ползучести бетона
сжатые железобетонные элементы
1. Елистратов, В. Н. Расчет сжатых железобетонных элементов с учетом ползучести бетона / В. Н. Елистратов // Вестник гражданских инженеров СПБГАСУ. – 2013. – № 5 (40). – С. 85-90.
2. Елистратов, В. Н. Учет мгновенной нелинейности бетона в уравнениях ползучести бетона / В. Н. Елистратов // Вестник гражданских инженеров СПБГАСУ. – 2012. – № 3 (32). – С. 115- 118.
3. Елистратов, В. Н. Экспериментально-теоретическое получение характеристики ползучести бетона при высоких уровнях загружения с учетом мгновенной нелинейности / В. Н. Елистратов // Вестник гражданских инженеров СПБГАСУ. – 2013. – № 4 (39). – С. 92-99.
4. Санжаровский, Р. С. Евростандарты и нелинейная теория железобетона: монография / А. Д. Беглов, Р. С. Санжаровский. – СПб., 2011. – 309 с.: ил. – Библиогр. С. 296-306.
5. Санжаровский, Р. С. Проблемы теории ползучести / Р. С. Санжаровский // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2013. – № 3. – С. 28-34.
6. СП 63.13330.2012 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003. – Введ. 2013–01–01. – М.: Минрегион России, 2012. – 155 с.
7. EN 1992–1–1:2004 (E). Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1–1: General rules and rules for buildings. – London: BSI, 2004. – 225 p.

Железобетонные сжатые элементы широко распространены в практике строительства промышленных и гражданских зданий. К ним относятся несущие колонны одноэтажных и многоэтажных зданий различного назначения, опоры-стойки секционных мостов, сжатые элементы ферм (верхние пояса, стойки, некоторые раскосы) и другие элементы конструкций. Форма их поперечного сечения с точки зрения целесообразности и экономичности чаще применяется квадратной или прямоугольной, развитой в плоскости действия момента. При значительных по величине изгибающих моментах, действующих в одном направлении, поперечное сечение принимается тавровым или двутавровым. В данной научной работе рассматриваются железобетонные элементы, с прямоугольным поперечным сечением.

Сжатые железобетонные элементы рассчитываются по прочности поперечного сечения и устойчивости всего элемента как в плоскости действия момента, так и в другой плоскости, перпендикулярной к ней.

В нелинейной деформационной модели в соответствии с разделом 8 СП 63.13330.2012 используются следующиепредпосылки:

  • сопротивление бетона растяжению принимают, равным нулю;
  • сопротивление бетона сжатию представляется напряжениями, равными призменной прочности Rb и равномерно распределенными по сжатой зоне бетона;
  • деформации (напряжения) в арматуре определяют в зависимости от высоты сжатой зоны бетона;
  • растягивающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению Rs;
  • сжимающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления сжатию Rsс.

Прочность прямоугольных сечений внецентренно сжатых элементов с арматурой, расположенной у противоположных в плоскости изгиба сторон сечения, при эксцентриситете продольной силы и гибкости определяется из условия:

(1)

где Nult – предельное значение продольной силы, которую может воспринять элемент;

Asc,tot – площадь всей продольной арматуры;

φ – коэффициент, принимаемый при длительном действии нагрузки в зависимости от гибкости элемента.

Расчет на устойчивость железобетонных элементов связан с определением критической силы, при которой элемент теряет устойчивость:

(2)

где l0 – расчетная длина элемента;

D – жесткость железобетонного элемента, равная:

D = kbEbI + ksEsIs, (3)

где Ebи Es – модули упругости бетона и арматуры;

I и Is – моменты инерции площадей сечения бетона и всей продольной арматуры относительно оси центра тяжести поперечного сечения элемента;

kb­ и ks­ – коэффициенты, равные:

ks = 0,7; (4)

φl – коэффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки:

(5)

Ml1 и M1 – моменты относительно центра наиболее растянутого и наименее сжатого (при целиком сжатом сечении) стержня арматуры соответственно от действия полной нагрузки и от действия постоянных и длительных нагрузок.

δe – относительное значение эксцентриситета продольной силы:

(6)

где e0– эксцентриситет приложения продольной силы;

h – высота поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения при расположении арматуры симметрично относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно сечению, момент инерции

- бетонного сечения

(7)

- продольной арматуры

(8)

Коэффициент армирования определяется выражением:

(9)

откуда

(10)

Подставляя выражения (4), (7) и (8) в уравнение (3) получаем выражение для жесткости железобетонного элемента прямоугольного поперечного сечения:

(11)

Коэффициент α, показывающий отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона, равен:

(12)

Принимая во внимание соотношения (9), (11) и (12) формула для определения критической силы (2) примет вид:

(13)

Особый интерес в уравнении (13) вызывает коэффициент φl, стоящий в знаменателе. Чтобы наглядно показать проблему, существующую в действующих нормах, вынесем коэффициент φl за скобки и подставим в него выражение (5):

(14)

где полученное соотношение идентично выражению по снижению модуля упругости, которое тоже нормируется при учете продолжительного действия нагрузки:

(15)

где φb,cr – коэффициент ползучести (характеристика ползучести), принимаемый в зависимости от класса бетона по прочности и относительной влажности воздуха окружающей среды.

В теории ползучести бетона характеристика ползучести φ(t,τ) показывает отношение деформации ползучести εп(t,τ) в наблюдаемый момент времени t (t> τ) к начальным упругим деформациям бетона εу(τ), возникшим от нагрузки, приложенной в момент времени τ:

(16)

В российских и европейских нормах проектирования содержится предельная величина характеристики ползучести φ∞ = φb,cr, которая отражает время t = ∞, когда деформации ползучести уже не проявляются. Следует заметить, что в СП коэффициент ползучести бетона был получен для условий, когда мгновенные деформации εм удовлетворялись закону Гука и принимались упругими (εм = εу), а коэффициент ползучести φt по диаграмме Еврокода 2 получен при напряжениях, не превышающих 45 % от прочности бетонного цилиндра в возрасте 28 сут.

Многочисленные экспериментальные исследования второй половины XX века, проведенные как в СССР, так и за рубежом, показали, что зависимость между напряжением бетона и относительной мгновенной деформацией для случая кратковременного сжатия является криволинейной с ниспадающим участком (рис. 1). К числу исследований, направленных на экспериментальное получение диаграммы мгновенного деформирования бетона, и подбор функций, описывающих данную кривую, относятся работы П.А. Лукаша, В.В. Соколовского, А. А. Прокоповича, Л. И. Онищика, А. А. Дыховичного, С.А. Тазехулахова, Г. А. Гениева, С. П. Шаха и Дж. Винтера (Surendra P. Shah, GeorgeWinter), Г. М. Штурмана (GeraldM. Sturman), А. Кабайла (A. Kabaila), Л. П. Саенза (LuisP. Saenz), Л. Г. Тулина и К. Герстла (LeonardG. Tulin,KurtH. Gerstle), М. Саржина (MuharremSargin), П. Десая и С. Кришнана (PrakashDesayi,S. Krishnan), Ж.М. Смита и Л.Е. Янга (G. M. Smith, L. E.Young) и других авторов.

Рис. 1. Диаграмма мгновенного деформирования бетона,

нормируемая Еврокодом 2, частью 1-1

Аналитическая зависимость, аппроксимирующая данную кривую, описывается формулой Саржина, нормируемой в части 1-1 Еврокода 2[7]:

(17)

где k и η – коэффициенты, равные:

σс – напряжение бетона в момент наблюдения; εс – относительная деформация бетона;

εс1 – деформация бетона, соответствующая максимальному напряжению fсm;

εсu1 – предельная деформация бетона, соответствующая разрушению образца;

fcm – максимальное напряжение в бетоне (среднее значение прочности бетонного цилиндра при сжатии в возрасте 28 суток);

Ecm – касательный модуль упругости бетона, определенный в возрасте 28 суток.

Уравнение (17) можно записать в буквенных обозначениях, принятых в Российских нормах СП:

(18)

где εb0 – предельная относительная деформация бетона при равномерном осевом сжатии, равная 0,002.

Заметим, что выражение (18) никак не учитывается при определении значения Ncr по формуле (14). Неучет мгновенной нелинейности приводит к искажению конечных результатов в практических расчетах.

Опытным путем установлено, что линейная зависимость от напряжений для мгновенных деформаций и деформаций ползучести характеризует работу бетона при очень малых уровнях загружения – не более 20 % от призменной прочности бетона. При высоких уровнях загружения бетона, приближающихся к 80…90 % от предела прочности, существующие уравнения ползучести показывают существенное различие теории и эксперимента. Этот факт свидетельствует о том, что необходимо проведение дальнейших экспериментальных и теоретических исследований в теории железобетона, а именно, выведение уточненных уравнений нелинейных теорий ползучести бетона, получение предельной характеристики ползучести при совместном учете мгновенной нелинейности и нелинейной ползучести бетона, исследование напряженно-деформированного состояния сжатых элементов и совершенствование расчетов по первой и второй группах предельных состояний с учетом мгновенных нелинейных деформаций.

В работах [1, 2, 3] показан способ учета зависимости (17) в уравнениях ползучести нелинейной теории старения бетона. В частности, при описании диаграммы (см. рис. 1) полиномом пятой степени, который предложил известный специалист в теории железобетона – Байков В. Н., получено уточненное уравнение ползучести вида:

(19)

где E0 – начальный модуль упругости бетона;

Ψ – новый параметр нелинейной ползучести, равный:

(20)

β – коэффициент нелинейной ползучести, принимаемый по таблице Улицкого И.И.;

a, b,c,d и e – опытные коэффициенты, равные:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Неоспоримым достоинством теории старения по сравнению с другими теориями ползучести является то, что при ее использовании появляется возможность получить аналитическое выражение для характеристики ползучести бетона с учетом формулы Еврокода 2 (17) и нелинейной ползучести.

Решая совместно уравнение (19) и уравнение равновесия

N = Ab·σb + As·Es·ε, (26)

можно прийти к следующим разрешающим уравнениям:

(27)

(28)

где ε – продольные деформации центрально-сжатого железобетонного элемента;

σb0 – начальное напряжение в бетоне в момент времени t = 0;

σb – напряжение в бетоне в момент наблюдения;

A,B и D – постоянные коэффициенты, равные и

Уравнения (27) и (28) позволяют не только изучать процесс изменения характеристики ползучести бетона φt во времени с учетом мгновенной нелинейности и нелинейной ползучести бетона (при σb≥ 0,45R), но и одновременно исследовать процессы изменения напряжений в бетоне σbи арматуре σsс течением времени и устанавливать особенности перераспределения этих напряжений с учетом мгновенной нелинейности бетона.

Чтобы проанализировать влияние ползучести и мгновенной нелинейности бетонана величину критической силы, при которой сжатый железобетонный элемент теряет устойчивость, рассмотрим следующую задачу.

Условие. Железобетонная колонна длиной 10,0 м прямоугольного профиля и сплошного сечения высотой h = 50 см и шириной b = 40 см имеет шарнирное опирание на двух концах и загружена продольной постоянной силой N, приложенной со случайным эксцентриситетом равным нулю. В этом случае коэффициент δe = 0.

Найти прочность сечения Nult и величину критической силы Ncr по действующим российским нормам СП и по методике, предложенной автором, и сравнить полученные результаты.

Исходные материалы:

• бетон тяжелый класса по прочности на сжатие В15:

- призменная прочность Rb = 85 кгс/см2,

- модуль упругости Eb = 240000 кгс/см2,

• арматура класса А400:

- расчетное сопротивление сжатию Rsс = 3550 кгс/см2,

- модуль упругости Es = 2·106 кгс/см2,

- защитный слой бетона а = а’ = 4 см.

Решение

Определим расчетную длину колонны l0 и ее гибкость λ:

l0 = 1,0H = 10,0 м,

В первом приближении принимаем арматуру 2×2Ø16А400 с площадью сечения стержня 2,011 см2 и общей площадью Asc,tot = 8,04 см2.

Определяем коэффициент армирования μ по выражению (9):

Прочность сечения по формуле (1) при гибкости колонны λ = 20:

Nult = 0,7 · (85 · 2000 + 3550 · 8,04) = 0,7 · (170000 + 28542) = 138979 кгс

1. Вначале произведем расчет согласно требованиям СП [6].

Принимаем отношение тогда коэффициент φl, учитывающий влияние длительности действия нагрузки:

и выражение для критической силы (14) примет вид:

где коэффициент α определяется отношением (12):

Вычисляем величину критической силы:

2. По предложению Байкова В. Н. и рекомендациям Еврокода 2 учтем в расчете касательный модуль полных деформаций (включая ползучесть).

Касательный модуль полных деформаций Eкас является величиной переменной и зависит от уровня загружения бетона. Для определения касательного модуля нужно знать деформации в железобетонной колонне при заданном уровне загружения:

Рассмотрим случай, когда на колонну действует нагрузка N, составляющая 80 % от предела прочности сечения, характеризующая высокий уровень загружения и область нелинейной ползучести:

N = 0,8 · 138979 = 111183 кгс.

Преобразуем уравнение (26), учитывая равенство напряжений в арматуре:

N = Ab·Eb·ε + As·Es·ε,

откуда получаем

Определим продольные деформации от действия силы N

Дифференцируя выражение (18) по переменной ε и подставляя в полученное выражение величину деформаций ε и исходные данные, получим значение касательного модуля полных деформаций Eкас = 116500 кгс/см2.

Тогда коэффициент α2 по формуле (12):

Преобразуем выражение для критической силы с учетом полученных значений:

Вычисляем величину критической силы:

3. Расчет с учетом коэффициента ползучести φb,crв соответствии с формулой (15).

В работах [2, 3] приведены результаты кратковременных и длительных экспериментальных исследований, проведенных автором, и показан способ экспериментального получения предельной величины характеристики ползучести для бетона класса В15 с помощью уравнения (27). В соответствии с рекомендациями Еврокода 2 принимаем коэффициент φb,cr при влажности от 40 до 75 % равным 3,4.

В этом случае коэффициент φl:

φl = 1 + φb,cr, (29)

или

φl = 1 + 3,4 = 4,4.

Для наглядности сравнения учитывать касательный модуль полных деформаций не будем. Выражение для критической силы записывается следующим образом:

Подставляя исходные данные, определяем:

4. Расчет с учетом коэффициента ползучести φb,cr и касательного модуля Eкас.

Таким образом, имеем выражение для критической силы:

Подставляя в формулу для критической силы исходные данные и величины φb,cr и Eкас, получаем:

5. Уточним Ncr с учетом параметра нелинейной ползучести Ψ, полученного автором в теоретических разработках.

Коэффициент φl, учитывающий влияние длительности действия нагрузки:

φl = 1 + Ψφb,cr, (30)

где Ψ – параметр нелинейной ползучести, определяемый выражением (20).

Тогда

(31)

Рассмотрим высокий уровень загружения (0,8Nult), создаваемый силой N = 111183 кгс. Параметр нелинейной ползучести β устанавливаем согласно исследованиям Улицкого И. И. – известного специалиста в области теории старения бетона:

β = 0,005.

Определим коэффициенты b и a для бетона по выражениям (21) и (22)

Тогда коэффициент:

По предложению Байкова В. Н. при применении нелинейной зависимости между мгновенными деформациями и напряжениями необходимо использовать величину Eкас. Преобразуем выражение для критической силы с учетом касательного модуля полных деформаций и полученного значения коэффициента φl = 1,044:

Подставляя исходные данные, определяем:

Таким образом, если взять за основу (100 %) значение критической силы, полученной в варианте № 1 (297100 кгс), то различия в результатах расчета последующих вариантов составят:

  • вариант № 2 (169300 кгс) – 43 %;
  • вариант № 3 (161600 кгс) – 46 %;
  • вариант № 4 (103500 кгс) – 65 %;
  • вариант № 5 (279800 кгс) – 6 %.

Полученные результаты указывают на необходимость учета касательного модуля полных деформаций и уточненного значения коэффициента ползучести, полученного с применением формулы (17) в расчетах железобетонных конструкций.

Рецензенты:

Веселов А.А., д.т.н., профессор кафедры железобетонных и каменных конструкций ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», г. Санкт-Петербург.

Серов Е.Н., д.т.н., профессор кафедры конструкций из дерева и пластмасс ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», г. Санкт-Петербург.


Библиографическая ссылка

Елистратов В.Н. К ВОПРОСУ РАСЧЕТА СЖАТЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ МГНОВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=11801 (дата обращения: 06.12.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074