Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

ФИЛЬТРАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ В НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ ПОД ВЛИЯНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Сираев Р.Р. 1
1 Пермский военный институт внутренних войск МВД России
Рассмотрена задача о фильтрации в канале, заполненном насыщенной пористой средой, при наличии периодического расхода жидкости. Рассматривается случай, когда внешнее периодическое воздействие имеет высокую частоту по сравнению с гидродинамическими временами, что позволяет применить про-цедуру осреднения к системе. Получены уравнения, описывающие осредненное течение, возникающее на фоне осциллирующего движения. Вторичное движение возникает под действием вибрационной силы, которая представлена в уравнениях слагаемым с градиентом пористости. На основе уравнений осред-ненного движения проанализирован фильтрационный поток жидкости в плоском канале с изменяю-щимся коэффициентом пористости. Получено аналитическое решение данной задачи, из которого следу-ет, что вторичное течение может возникнуть даже при отсутствии постоянного перепада давления. Зна-чительное влияние на формирование и интенсивность осредненного течения оказывают проницаемость и градиент пористости среды, амплитуда и частота периодического воздействия.
осредненное течение
периодическая воздействие на жидкость
насыщенная пористая
фильтрация
1. Ганиев О.Р. Влияние периодического воздействия на осредненное течение в неодно-родной пористой среде, насыщенной жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. – 2006. - №2. – С. 98-104.
2. Ромм Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород. – Л.: Недра, 1985. – 240 с.
3. Сираев Р.Р. Фильтрация жидкости в неоднородной пористой среде // Труды XVI Зим-ней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (Электронный ресурс) – Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. – Электрон. оптич. диск. (СD).
4. Nield D.A., Bejan A. Convection in Porous Media. – N.Y. etc.: Springer, 1992.
5. Siraev R. Theoretical investigation of incompressible fluids and gases in heterogeneous porous medium // Proceedings of the XXXVI Summer School APM'2008. – S.-Peterburg, 2008. – P. 600-606.

Введение. Известно, что периодическое воздействие на жидкость часто приводит к возникновению осредненного течения. Природа воздействия может быть различной: периодический расход жидкости в канале, колебания полости с неоднородно нагретой жидкостью, вибрации тел, помещенных в жидкость, периодическое внешнее течение и т.д. Имеется большое количество работ, в которых исследуются осредненные течения, возникающие в обычной жидкости. В то же время малоизученным остается вопрос о влиянии периодического воздействия на фильтрацию жидкости в насыщенной пористой среде. В теоретическом плане проблема интересна тем, что уравнение фильтрации имеет более простой вид по сравнению с уравнением Навье-Стокса, что повышает возможности аналитического исследования. Изучение фильтрации при наличии периодического расхода жидкости представляет интерес с точки зрения технических приложений, например, в нефтедобыче при решении задачи о более эффективной разработке месторождений.

В немногочисленных работах по этой проблеме рассматривались в основном простые модельные задачи, в которых определялись условия возникновения осредненного течения. Отметим работу [1], в которой изучалось одномерное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в неоднородном пористом скелете при периодическом воздействии. Получено интегральное соотношение для расхода жидкости, которое затем усреднялось по времени. В результате показано, что наличие неоднородности пористости среды по пространству приводит к возникновению осредненного течения жидкости. Следует отметить, что эффект, исследованный в работе [1], получен для частного случая плоскопараллельного течения. В других ситуациях осредненное течение может реализоваться при иных условиях либо отсутствовать. К настоящему времени пока не предложены уравнения осредненного течения в неоднородной пористой среде.

Целью данной работы является исследование вторичных течений жидкости, обусловленных периодическим расходом жидкости в каналах, заполненных насыщенной пористой средой.

Уравнения фильтрации при наличии периодического воздействия. Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в канале, заполненном пористым материалом, физические свойства которого, в частности, коэффициент пористости , неоднородны по пространству. Движение жидкости в канале возникает под воздействием перепада давления на входе и выходе канала. На входе канала задан переменный расход жидкости через границу, зависящий от времени по гармоническому закону с частотой Ω и амплитудой скорости .

Уравнения, описывающие фильтрацию жидкости, представляют собой уточненную для случая неоднородной среды форму уравнения Форцгеймера и имеют вид (см. [4]):

 (1)

где – скорость фильтрации, ν,– кинематическая вязкость и плотность жидкости, , e – проницаемость и просветность пористой среды. Часто пытаются связать просветность с коэффициентом пористости. Так, с помощью гранулярной модели С. Слихтером установлено (см. [4]). Однако во многих других исследованиях считается, что просветность по величине равна пористости. Поэтому в дальнейшем полагаем .

Граничные условия сформулируем на твердой стенке Г для нормальной к границе компоненты скорости, на входе (in) и выходе (out) канала – для давления и скорости

, (2)

В дальнейшем нас будет интересовать случай, когда внешнее периодическое воздействие имеет высокую частоту по сравнению с гидродинамическими временами, что позволяет применить процедуру осреднения к системе (1).

Для получения осредненных уравнений представим скорость, температуру и давление в виде суммы усредненных и пульсационных компонент. Выделяя в уравнениях (1) пульсационные компоненты и, оставляя в них главные по амплитуде слагаемые, получим систему

Решения можно записать в виде . Уравнение для амплитуды пульсационной скорости имеет вид . Удобно изменить масштаб переменной , выделив из нее множитель

В результате нормировки поле становится вещественным, так как поле вещественно вследствие дивергентности .

Уравнения для усредненных величин выводятся с использованием процедуры осреднения по времени системы уравнений (1). В уравнении фильтрации жидкости не учитывается слагаемое с ускорением ввиду его малости. Среднее от последних двух слагаемых в правой части вычисляется следующим образом

где и черта над выражением означает осреднение по времени. Опустим члены, нелинейные по скорости фильтрации , ввиду их малости: предполагаем, что осредненная скорость мала по сравнению с амплитудой пульсационной компоненты скорости . В результате получим систему

 (3)

. (4)

Уравнения (3)-(4) описывают осредненное течение, возникающее на фоне осциллирующего движения. Вторичное движение возникает под действием вибрационной силы, которая представлена в уравнениях слагаемым с градиентом пористости.

Перейдем к безразмерным переменным. Обозначим характерный размер канала (например, его длину) L. Выберем в качестве единиц измерения расстояния, скорости, давления, а также пульсационных компонент скорости и давления соответственно . Опустим индекс '1' у величины и переобозначим в . Уравнения фильтрации примут следующий вид

 (5)

 (6)

Граничные условия в безразмерных переменных имеют вид

. (7)

Краевая задача (5)-(7) содержит два безразмерных параметра – число Рейнольдса и безразмерную частоту

. (8)

Как правило, значения коэффициента проницаемости очень малы: м2. Следовательно, число Рейнольдса – малая величина, и сделанное ранее предположение, что осредненная скорость мала по сравнению со значениями переменной , верно.

Помимо указанного ограничения частоты снизу, связанного с применимостью метода осреднения, имеется также ограничение по частоте сверху, обусловленное использованием модели несжимаемой жидкости (длина звуковой волны должна быть намного больше характерного размера). Таким образом, частота вибрации должна удовлетворять неравенствам

, (9)

где c – скорость звука.

Плоскопараллельный фильтрационный поток. Рассмотрим одномерное движение жидкости – плоскопараллельный поток вдоль оси x декартовой системы координат. Он описывается уравнениями:

 (10)

В уравнениях (10) штрих означает производную по координате . На входе и на выходе канала выполняются граничные условия (7). Решение данной задачи имеет вид

 (11)

Предположим, что рассматриваемый канал состоит из двух частей: прямолинейного участка насыщенной пористой среды между точками , и, замыкающего его, жидкого контура с низким сопротивлением. В этом случае внешний градиент давления отсутствует: . Тем не менее, если на входе и выходе канала пористость среды различна, возникает осредненное течение жидкости с постоянной скоростью, направленной в сторону увеличения пористости. Величина скорости зависит от проницаемости и градиента пористости среды, амплитуды и частоты периодического воздействия.

Приведем оценку величины осредненной скорости. Допустим канал длиной 10-1 м заполнен пористым материалом с постоянной проницаемостью 10-8 м2 и неоднородной пористостью, меняющейся по линейному закону от значения 1/3 на левой границе до значения 2/3 на правой границе. Пористый материал канала насыщен водой при температуре 25°С; амплитуда пульсации скорости на входе в канал 10-2 м/с, частота – 1 Гц. В этом случае модифицированное число Рейнольдса равно 10-3. Безразмерная осредненная скорость в отсутствие разности давлений , согласно выражению (11), равна 3,37·10-2, а размерная скорость – 3,37·10-4 м/с, что составляет примерно 3,4% от амплитуды периодического воздействия. Неравенства (9) дают следующие ограничения на частоту . Скорость осредненного течения пропорциональна проницаемости среды и убывает по квадратичному закону с ростом длины канала.

Заключение. Результаты работы свидетельствуют о существенном влиянии неоднородности характеристик пористой среды на ее гидродинамику. При наличии периодического движения жидкости в неоднородной пористой среде возникает вторичное течение, направленное в сторону увеличения пористости. Расчет этого течения можно выполнить с помощью уравнений, полученных в данной работе.

Рецензенты:

Тарунин Е.Л., д.ф.-м.н., профессор, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.

Смородин Б.Л., д.ф.-м.н., профессор, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.


Библиографическая ссылка

Сираев Р.Р. ФИЛЬТРАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ В НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ ПОД ВЛИЯНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=11353 (дата обращения: 26.04.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252