Введение
Используем для построения содержания обучения алгебре в средней школе идеи одного из авторов системно-деятельностного подхода к обучению – П. Я. Гальперина и его последователя – Н. Ф. Талызиной.
Известно, что П. Я. Гальпериным выделены три типа ориентировочной основы действия, соответствующие трем типам учения. Наиболее продуктивным из них был признан третий тип [8, с. 99], при котором учащимся предлагают построить с максимальной долей самостоятельности обобщенные и полные ориентировочные основы действий. Именно этот тип учения считал близким теории развивающего обучения В. В. Давыдов: «Согласно П. Я. Гальперину, для III типа учения характерна ориентировка учащихся на основные единицы, конституирующие ту или иную область знания, на законы их сочетания, а главное – на общие методы определения того и другого. Такая ориентировка дает детям понимание того, чем обоснованы выделение и состав условий соответствующих действий… Таким образом, III тип ориентировки и учения связан с переходом ребенка к опосредованному, теоретическому мышлению…» [3, с. 263].
Но еще Петр Яковлевич осознавал масштабы трудностей при организации обучения по третьему типу: «III тип ориентировки и учения требует гораздо более глубокой переработки учебных предметов. Выделение основных единиц материала, метода их анализа и общих правил их сочетания требует совсем иного размещения и освещения материала, чем то, что принято в современной методике. Такая переработка учебного материала составляет главную трудность в реализации III типа.
Однако два соображения позволяют не откладывать его применение до полного завершения такой перестройки: во-первых, изложение предмета по III типу ориентировки более всего приближается к собственно научному, современному его пониманию; во-вторых, даже частичное осуществление III типа воспитывает такое верное «чувство предмета» и такое положительное отношение к нему, что в очень большой мере облегчает его дальнейшее усвоение, даже если последующие разделы учебного предмета не подвергаются переработке по III типу» [2, с. 32-33].
Для переработки учебного материала Н. Ф. Талызина предлагает два метода: метод теоретико-экспериментального моделирования [9, с. 12] и анализ сложившихся видов деятельности [9, с. 13]. Первый метод направлен на выявление объективного состава действия на основе затруднений обучающихся. Он состоит в том, что, достраивая теоретическую модель после каждой экспериментальной проверки, автор обучающей программы возвращается к экспериментированию до тех пор, пока его не удовлетворит построенная модель. Метод, получивший название «анализ сложившихся видов деятельности», состоит в том, что выявляется истинное содержание деятельности людей, которые преуспевают в решении задач данного класса.
Применяя первый метод, проанализируем ошибочное решение линейного уравнения семиклассником, которого однозначно можно было отнести к категории одаренных (он был призером олимпиад):
При проверке, подставляя найденный корень в данное уравнение, ученик понял, что решил уравнение неправильно, но тщетно пытался найти свою ошибку, поскольку его ориентировочная основа действия была неверна: на вопрос, почему на третьем шаге решения потерян знак числа шесть, он уверенно отвечал, что число меняет знак, как только оказывается по другую сторону равенства.
В учебнике, по которому учился решать линейные уравнения этот ученик, развернутое действие переноса слагаемого из одной части уравнения в другую продемонстрировано только один раз [7, с. 230]. И в этом учебнике совсем не содержится упражнений, направленных на отработку этого действия в развернутом виде.
Упражнения на отработку развернутого действия вообще крайне редко встречаются в учебниках математики. Учителя, как правило, предлагают учащимся выполнять действия сразу в свернутом виде, пользуясь теоретическим выводом. И ориентировочная основа действия, полученная в готовом виде, часто искажается даже самыми лучшими учениками.
На этапе экспериментальной проверки выяснилось, что развернутый алгоритм решения линейного уравнения, даже не очень подробный и сопровожденный конкретным примером, был для семиклассников очень трудным:
|
1. Прибавив к обеим частям уравнения число, противоположное
после преобразований получим:
2.Разделим обе части равенства на
3.Проверка: |
1.Прибавив к обеим частям уравнения число, противоположное 3:
после преобразований получим:
2.Разделим обе части равенства на
3.Проверка: |
,
.
.
.
,
.
:
.
Очевидно, что полный алгоритм со ссылками на законы действий над числами им тем более бесполезен. К тому же, последовательность шагов алгоритма решения линейного уравнения не всегда однозначна. Например, можно сначала разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном и только затем переносить известное слагаемое вправо. В некоторых случаях удобнее слагаемые, содержащие неизвестные, оставить в правой части равенства. Такие действия кажутся школьникам неправильными, поскольку их учили, что слагаемые с неизвестными нужно переносить именно в левую часть равенства, они каждый раз делали именно так, и это им кажется существенным.
Таким образом, методом «теоретико-экспериментального моделирования» объективный состав деятельности выявить не удалось. Применим второй метод – «анализ сложившихся видов деятельности»: рассмотрим процесс решения линейного уравнения с точки зрения математика.
Поскольку разность 
всегда можно заменить суммой: 
, а частное 
– произведением: 
, при решении линейных уравнений используется всего лишь два действия:
-
прибавление к обеим частям равенства некоторого слагаемого;
-
умножение обеих частей равенства на некоторый множитель.
Возможность сведения четырех арифметических действий к двум в алгебре вообще очень важна, поскольку все законы действий над числами сформулированы только для главных операций: сложения и умножения.
Возвращаясь к линейным уравнениям, рассмотрим их простейшие виды, для решения которых используется только одно из названных действий:
|
|
|
И с точки зрения математика мы имеем дело не с двумя видами простейших уравнений, а лишь с одним:
,
где символом 
обозначена бинарная операция группы (сложение в аддитивной группе действительных чисел или умножение в мультипликативной группе действительных чисел без нуля). Для решения уравнения воспользуемся существованием для каждого элемента 
группы симметричного элемента 
, то есть такого, что 
[5, c. 94]. По определению бинарной операции [5, с.75],
.
В силу ассоциативности операции получим
.
По определению симметричного элемента [5, с.78],
.
И, наконец, по определению нейтрального элемента [5, с.77],
Возвращаясь к аддитивной и мультипликативной записи конечного результата, имеем:
|
|
|
Обозначения и терминология симметричного для элемента в аддитивной и мультипликативной записи бинарной операции различны: противоположный и, соответственно, обратный элемент, но равенства, их определяющие, сходны:
|
|
|
|
Узловым моментом сходства является параллель между нейтральными элементами в аддитивной и мультипликативной записи:
|
|
|
|
Эти понятия: нуля и единицы, числа, противоположного и обратного данному «рассеяны» по разным страницам школьных учебников. И явные для математика «параллели» оказываются скрытыми для школьников. Ясно, что преждевременно знакомить их с такими понятиями высшей алгебры, как бинарная операция, группа. Но понимание принципиальной схожести нуля и единицы, числа противоположного данному и обратного данному числа, доступно подросткам. Значит, эти понятия нужно вводить одновременно. Тогда при решении линейного уравнения школьник сможет сам определиться, какое из двух действий выбрать, исходя из цели: от чего он намерен «освободить» неизвестное в уравнении – от слагаемого или множителя. И на первых этапах процесса усвоения упражнения должны быть направлены на отработку развернутого действия: «прибавим к обеим частям равенства число, противоположное известному слагаемому», «умножим обе части равенства на число, обратное известному сомножителю». Пройдя этапы процесса усвоения (по Гальперину) эти действия преобразуются в умственные (интериоризируются) – сворачиваются, причем непроизвольно.
Возвращаясь к аддитивной и мультипликативной записи решений простейших линейных уравнений:
|
|
|
выделим еще один существенный момент: операция вычитания (деления) является обратной [6, c.18] к операции сложения (умножения).
Обратимость является неотъемлемым свойством операции в концепции интеллекта Ж. Пиаже (см., например, [4]). С точки зрения этой теории, обучение оперированию подобными абстрактными объектами при изучении математики оптимально именно в подростковом возрасте, – на «стадии формальных операций». Эксперимент В. В. Давыдова, доказавший способность детей усваивать теоретические знания, гораздо раньше только усиливает сделанный вывод: возможность оперирования обобщенными математическими объектами должна быть предоставлена школьникам не позже, чем в подростковом возрасте.
Понятие обратной операции начинает «работать» наиболее системно для неассоциативной операции возведения в степень. Уравнения 
и 
имеют различные решения. Корень первого уравнения при натуральном показателе 
степени называют арифметическим корнем -ой степени из числа 
, корень второго – логарифмом числа по основанию (при известных ограничениях на и ). Поскольку свойства корней следуют из свойств степени, в которых фиксирован показатель (например, свойство 
следует из свойства степени 
), то можно ожидать, что из свойств степеней, в которых фиксировано основание, будут следовать свойства логарифмов.
В традиционных курсах алгебры школьникам сначала предлагают готовые формулировки свойств логарифмов, и лишь потом знакомят с их доказательствами. Эти доказательства школьники не в состоянии восстановить в случае необходимости. Особую трудность для воспроизведения представляет вывод формулы перехода к другому основанию логарифма, поскольку он содержит искусственный прием (см., например, учебник [1, с. 225]). Конечно, свойства логарифмов доказываются с помощью определения логарифма, но как догадаться до формулировок свойств?
Само словесное определение логарифма с неизвестно откуда взятыми ограничениями также трудно для восприятия и применения. Понятие логарифма естественным образом возникает из проблемы решения конкретного уравнения, например, . Используя график показательной функции, школьники приходят к выводу, что данное уравнение имеет корень, причем единственный (рис. 1). Только тогда им сообщается, что это число в математике принято обозначать через 
. Обобщение графического способа решения простейшего показательного уравнения, приводит к выводу: уравнение 
имеет решение только при 
. После этого учащиеся естественным образом приходят к такой формулировке определения: логарифмом числа (
по основанию 
назовем корень уравнения и будем обозначать его через 
. Из определения логарифма как корня уравнения естественным образом следует основное логарифмическое тождество: 
. Это равенство как раз нуждается в словесной формулировке, выражающей его основное предназначение: всякое положительное число может быть представлено в виде степени с наперед заданным основанием, большим нуля и отличным от единицы:
.
Для «переоткрытия» свойств логарифмов предложим школьникам исходить из основного логарифмического тождества и свойств степеней с фиксированным основанием. Что, например, следует из свойства степени: 
? Это равенство верно для любых действительных чисел 
и 
. Подберем такие числа, чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством. Пусть 
, 
, где и 
– произвольные положительные числа:
.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством для преобразования левой части этого равенства: 
. Представив число 
в виде степени с основанием , получим: 
. В силу монотонности показательной функции:
.
Запишем свойство степени 
, для показателей и 
:
.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством для преобразования левой части этого равенства: 
. Представив число 
в виде степени с основанием : 
, получим: 
. Это равенство связывает логарифмы по разным основаниям, а значит, может быть использовано для перехода от одного основания к другому. Для этого и перепишем его в виде:
.
Как подвести школьников к формулировке свойства: 
? Для натурального числа 
оно следует из свойства логарифмов, которое было доказано первым. Значит, для любого действительного числа 
его формулировка может возникнуть в виде гипотезы. То, что это гипотеза верна, легко проверить по определению: убедиться, что число 
корнем уравнения 
. Используя свойство возведения степени в степень и основное логарифмическое тождество, получим:
.
Свойство: 
может быть получено как из свойства степени 
, так и выведено исходя из двух уже доказанных свойств логарифмов:
.
При таком подходе свойства логарифмов могут быть выведены школьниками с гораздо большей долей самостоятельности, чем в традиционном изложении.
Таким образом, при стремлении к ориентировкам III типа (по П. Я. Гальперину), мы приходим к принципиально иному построению содержания обучения математике. При создании соответствующих учебных материалов хороший результат обеспечивает сочетание двух методов, предложенных Н. Ф. Талызиной [9]: «теоретико-экспериментальное моделирование» и «анализ сложившихся видов деятельности» (т.е. видов деятельности профессионального математика).
Рецензенты:
Розов Н. Х., доктор физико-математических наук, декан факультета педагогического образования ФГОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», г. Москва.
Смирнов С. Д., доктор психологических наук, профессор кафедры психологии образования и педагогики ФГОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», г. Москва.