В современной отечественной педагогике реализация целей, смыслов и ценностей образования связана, прежде всего, с необходимой их корреляцией с человеком, миром чувств и отношений, его культурой, экологией, моралью, творчеством. Это привело к появлению новой педагогической парадигмы - гуманистической. Вместе с тем гуманитарный характер педагогических теорий, в отличие от математических, не в полной мере способен обеспечить точность характеристик образовательного процесса. Применение математических методов к элементам процесса обучения увеличивает требования к однозначности педагогических понятий и придает педагогической науке строгость, которая ей так необходима. Поэтому, на наш взгляд, в педагогике необходима система интеграции математических методов с современными гуманитарно-ориентированными педагогическими методиками и технологиями.
Среди различных математических методов, которые могут быть использованы для формализации процесса обучения, особую роль играет математическое моделирование, поскольку оно позволяет точно фиксировать структурные изменения любой системы и отражать их в количественной форме. Математические модели необходимы для анализа эффективности функционирования образовательных систем, прогнозирования и проектирования их развития. Обращение же к моделям, отражающим закономерности процесса обучения, позволяет управлять познавательной деятельностью учащихся, учитывая меру влияния различных факторов, определяющих её успешность.
На актуальность проблемы применения математических методов в педагогической науке указывали многие учёные, которые занимались вопросами методологии педагогики (В. И. Загвязинский, Л. Б. Ительсон, В. В. Краевский и др.).
Примеры различных математических моделей можно найти в работах педагогов: В. М. Блинова, В. И. Загвязинского, Л. Б. Ительсона и др.
В настоящее время представлен достаточно обширный математический аппарат для моделирования педагогических объектов (семантические сети, алгебраические методы и др.). Однако в процессе обучения методы математического моделирования не нашли адекватного своей значимости применения, несмотря на то, что суть процесса познания неразрывно связана с моделированием. Это связано с тем, что в основе обучения лежит построение образа изучаемого объекта в психике обучаемого, фиксирующего его основные свойства и отношения. Во многих случаях подобное фиксирование удобнее выполнять в математической форме.
Хотя в области представления педагогического объекта методами математического моделирования имеется достаточное количество работ, общей теории применения этих методов в педагогике разработано не было и возможности этого средства в обучении остаются до сих пор недостаточно раскрытыми.
Цель исследования: анализ возможностей формализации элементов образовательного процесса на основе математических методов.
Для получения представленных результатов авторами был использован комплекс методов теоретического и эмпирического характера с учетом специфики каждого этапа исследовательской работы:
- теоретический анализ научной литературы по теме исследования;
- изучение передового педагогического опыта;
- диагностические методы.
В современных условиях развития педагогической науки педагог должен не только хорошо разбираться в существующих методах и средствах исследования, но и уметь применять их на практике.
Рассмотрим круг проблем, связанных с общими вопросами применения методов математического моделирования для формализации процесса обучения. Под математическим моделированием в педагогике будем понимать научный метод количественного и структурного исследования и описания свойств и закономерностей педагогических явлений и процессов с помощью математических моделей.
Математическая модель - это совокупность записанных на языке математики соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических соотношений), определяющих характеристики состояния объекта в зависимости от его элементов, свойств, параметров, внешних воздействий.
Математическое моделирование представляет собой многофункциональное дидактическое средство, объективное в силу использования математических моделей в качестве математической основы.
В процессе развития подходов к применению методов математического моделирования в педагогике можно выделить следующие этапы становления методов математического моделирования в соответствии с потребностью автоматизации педагогического процесса: 1) появление в педагогике; 2) разработка отдельных методов и направлений; 3) осмысление и обобщение возможностей математического моделирования в педагогической науке.
Взяв за основу классификации, используемые экономикой и психологией, получаем следующие классификации моделей, применяемых в педагогических исследованиях:
1. В соответствии с общей классификацией математических моделей:
1) структурные (неметрические);
2) функциональные (метрические);
3) структурно-функциональные (смешанные).
2. По целевому назначению:
1) теоретико-аналитические (общенаучные);
2) прикладные (специальные).
3. По степени идеализации:
1) дескриптивные;
2) нормативные.
В образовательном процессе математические модели способны выполнять разнообразные функции: описательную, управленческую, исследовательскую, интерпретационную, прогностическую и др.
1. Описательная функция предполагает рассмотрение педагогического объекта в виде математической модели с тем, чтобы выделить в нем существенные свойства и отношения, отражающие его главное содержание. Поскольку это содержание подлежит дальнейшему анализу, то математическое моделирование педагогического объекта с целью его структурно-количественного анализа помогает понять, как устроен педагогический объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром. Важно показать, какую роль играет математическая модель для исследования конкретной темы, предостерегая от отождествления оригинала и его модели.
2. Управленческая функция математических моделей предполагает, что зафиксированные в них закономерности процесса обучения могут служить ориентиром для принятия педагогом научно обоснованных решений по его совершенствованию.
3. Исследовательская функция математических моделей означает, что они выступают в роли предмета или средства исследования. Наиболее ярко эта роль проявляется в результате постановки педагогического эксперимента. Однако и в повседневной профессиональной деятельности такие модели составляют дидактический арсенал учителя, поскольку он распределяет время для разных этапов урока, оценивает сложность учебного материала, ориентируясь на определенные критерии, и т.д. В результате педагог строит модели взаимосвязи параметров процесса обучения, опираясь на накопленный опыт преподавания.
4. Интерпретационная (объяснение, обобщение и исчерпывающее описание). Обычно акцент делается на объяснение, но не менее важно, что математическая модель позволяет в сжатой форме общего закона описать множество частных случаев, которые могут быть выведены из нее логически и не требуют специального описания. Функция обобщения большого числа данных с наибольшей убедительностью выступает на заключительных этапах педагогического исследования, когда жизнеспособность математической модели уже доказана многочисленными педагогическими экспериментами.
5. Математические модели выполняют также прогностическую функцию, так как зафиксированные в них количественные или структурные соотношения открывают возможности планирования педагогической деятельности, построения перспектив развития педагогической системы с учетом условий, для которых построена математическая модель. Реализация прогностической функции конкретной математической модели связана с экстраполяцией тенденций на основе статистических критериев с использованием различных методов прогнозирования.
Проведенный анализ существующих работ как по истории математического моделирования, так и по отдельным направлениям применения методов математического моделирования в педагогике (работы Б. Битинаса, Дж. Гласса, Л. Б. Ительсона, К. А. Краснянской, В. И. Михеева, Г. В. Суходольского, В. С. Черепанова, В. Я. Якунина и др.) позволил выявить основные области использования методов математического моделирования для формализации элементов образовательного процесса и уделить особое внимание специфике математических моделей каждого из выделенных классов и особенностям его использования [2].
Представленная характеристика методов математического моделирования дает возможность некоторого педагогического обобщения областей их применения в образовательном процессе. Результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1
Области применения методов математического моделирования в педагогике
Методы математического моделирования |
Область применения |
Вероятностные методы |
Конкретные свойства и связи отдельных педагогических явлений, которым неоднозначность педагогических процессов придает случайный (вероятностный) характер |
Графовые методы |
Педагогические объекты, которые обладают структурой (в такой форме можно моделировать и внешний вид, и поведение педагогического объекта) |
Алгебраические методы |
Педагогические процессы, в которых необходима формализация больших объемов информации |
Методы линейного программирования |
Применимы в тех случаях, когда можно однозначно количественно определить (оценить) результаты любого из выбранных решений |
Методы теории игр |
Педагогические процессы, в которых каждое выбранное действие может дать в разных случаях разные результаты с известной вероятностью |
Обобщенный алгоритм применения отдельных методов математического моделирования в обучении включает следующие этапы: 1) построение модели элементов образовательного процесса; 2) экспериментирование с моделью; 3) интерпретация полученных результатов на языке дидактики и установление соответствия вывода о свойствах модели высказыванию о свойствах объекта.
На основе общих этапов математического моделирования возможно рассмотрение круга проблем, связанных с формализацией предметной области педагогики, которая является необходимой предпосылкой создания систем автоматизированного проектирования. В рамках графового моделирования были разработаны подходы к организации элементов исследовательской деятельности педагогов: алгоритмы исследования задачника на полноту, разработки учебных пособий справочного характера, построения модели обучения по различным учебным пособиям и модели учебного словаря [5, 6], а также комплекс алгоритмов, связанных с построением траектории обучения группы [3, 4]. Все вышеперечисленные алгоритмы универсальны, т.е. не зависят от того, с какой предметной областью работает педагог, это следует из универсальности моделей, на основе которых они построены.
Таким образом, обобщение исторического опыта и выделение этапов использования методов математического моделирования в педагогических науках, выявление основных областей использования методов математического моделирования в обучении, обобщение и систематизация классификации применяемых в педагогике методов математического моделирования, описание функций математических моделей в образовательном процессе демонстрируют эффективность применения методов математического моделирования в образовательном процессе, обогащают теоретическое содержание исследований в области организации образовательного процесса и показывают дальнейшие перспективы в решении обозначенной проблемы.
В настоящее время результаты, представленные в статье, успешно используются авторами в работе со студентами 4, 5 курсов специальностей «Математика и информатика», «Информатика и английский язык», «Физика и информатика» при изучении дисциплин «Теория и методика обучения информатике» и «Современные методы обучения» физико-математического факультета Смоленского государственного университета.
Рецензенты:
Сенькина Г. Е., д.п.н., профессор, зав. кафедрой методики обучения математике, физике и информатике, ФГБОУ ВПО «Смоленский государственный университет», г. Смоленск.
Боровикова Т. В., доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой управления, ФГБОУ ВПО «Смоленский государственный университет», г. Смоленск.