Ю.С. Осиповым и А.В. Кряжимским в [4] предложен динамический подход, позволяющий в режиме реального времени восстанавливать неизвестное управление в системе вида
(1)
по неточной информации о движении системы (– евклидова норма,), доступной в узлах временного промежутка.
Предполагается, что и – отображения: в и в пространство матриц размерности со спектральной нормой (), соответственно; при значения измеримой функции u(t) принадлежат выпуклому компакту каждое значение x(t) является внутренней точкой компакта Известно, что в общем случае эта задача является некорректной, поскольку множество управлений, порождающих конкретное движение, вообще говоря, неодноэлементно. Упомянутый выше подход основан на идее стабилизации аналога функционала А.Н. Тихонова с помощью процедуры экстремального прицеливания, введенной Н.Н. Красовским в теории позиционных дифференциальных игр, и его специфика состоит в том, что он позволяет восстанавливать нормальное управление – управление, обладающее минимальной нормой в , среди всех управлений, порождающих наблюдаемое движение, в режиме реального времени.
Формально реализация алгоритма состоит из следующих этапов.
1. До начала работы задается разбиение промежутка и выбираются величины: , (далее для простоты полагаем ), , , и значение , полагается равным проекции нуля на компакт Q.
2. На каждом шаге вычисляется:
а) состояние системы модели, функционирующей по правилу
;
б) значение – результат проекции на Q вектора .
Таким образом, формируется приближение в виде кусочно-постоянной функции при . Описанный выше алгоритм получил название метода динамической регуляризации. В цитируемой работе доказано следующее.
Утверждение 1. Пусть удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных с общей константой L; согласуются так, что величина стремится к нулю вместе с h. Тогда является нормально регуляризирующим, то есть
Введем вспомогательные понятия.
Определение 1. Функция называется нижней (верхней) оценкой точности
алгоритма в функциональном пространстве F, если существует такое, что для всех
имеет место неравенство .
Определение 2 . Функцию назовем порядком точности при уровне погрешности , если существуют такие, что , а число – асимптотическим порядком точности.
В работе [3] получены верхние и нижние оценки точности – модификации исходного алгоритма , позволяющей отказаться от трудоемкой процедуры проектирования на компакт при построении , в метрике пространства .
Утверждение 2. Пусть: 1) ранг матрицы постоянен, вариация ограничена при ; 2) значения являются внутренними точками соответствующего компакта ; 3) компакт содержит 0; 4) существует такое, что для всех величины , ограничены. Тогда при выборе параметров , асимптотический порядок точности в пространстве равен ½.
Возможность получения асимптотического порядка точности в равномерной метрике () для рассматривалась в [5].
Утверждение 3. Пусть: 1) выполнены условия утверждения 2; 2) удовлетворяет условию Липшица на ; 3) известно такое, что , . Тогда при выборе параметров , , асимптотический порядок точности в равномерной метрике равен ½, то есть порядок точности данного алгоритма является асимптотически оптимальным.
Поскольку известно, что нижняя оценка точности в равномерной метрике удовлетворяет условию , то цель работы состоит в получении верхней оценки точности в равномерной метрике на промежутке . Пусть задано точное начальное условие , тогда согласно подходу, предложенному в [5], система (1) при выборе ,может быть приведена к виду
(2)
Выполнение условий утверждения 3 гарантирует существование положительных констант Mf, Mg, Mv таких, что , . Через Lv обозначим константу Липшица нормального управления . При отказе от проектирования на компакт, постоянное приближение управления на каждом шаге определяется следующим образом:
Зафиксируем . Управление и систему – модель
(3)
где назовем виртуальными. Для получения асимптотического порядка точности оценим сначала , а затем норму разности . Если предположить невырожденность матрицы коэффициентов при управлении вдоль наблюдаемой траектории, то подход, предложенный в [2] для получения оценки первой из указанных норм, может быть использован и в случае бесконечного временного промежутка:
решение задачи Коши (3) представим в виде
(4)
где – решение дифференциального уравнения
(5)
с начальным условием (E – единичная матрица). Интегрирование по частям от a до t второго слагаемого из правой части (4), с учетом (2) и (5), приводит к равенству
В силу свойств обратной матрицы, с учетом дифференциального уравнения (5), имеем:
(6)
Обозначим . Введем понятие оператора восстановления значения F(t). Пусть , , и .
Рассмотрим представление Интегральный оператор в левой части последнего равенства назовем оператором восстановления значения , – погрешностью, а его ядром.
Утверждение 4. [3] Пусть выполнены условия утверждения 3. Тогда существует h1>0 такое, что для всех , , имеет место оценка , где точная нижняя грань на минимального собственного числа матрицы .
Несложно убедиться в результатах лемм 1, 2.
Лемма 1. Если матрица , отображение удовлетворяет условию Липшица с константой Lp и для всех справедливы оценки ,, то .
Лемма 2. Пусть выполнены условия утверждения 3, матрица обратима на промежутке . Тогда F(t) удовлетворяет условию Липшица с константой , равной .
Лемма 3. Пусть выполнены условия утверждения 3; стремятся к нулю вместе с h, при , и . Тогда существуют такие, что для всех погрешность оператора восстановления значения F(t) удовлетворяет оценке: где выписываются конструктивно.
Доказательство. Пусть при , определим
, ,
.
Оценим каждую из указанных величин. В силу утверждения 4, дифференциального уравнения (5) для справедливо:
Для получения оценки воспользуемся результатами лемм 1, 2:
Для , с учетом начального условия:
Тогда
где , .
Заметим, что для любого
можно указать такое, что для всех справедливо из которого следует требуемый результат.
Следствие. В силу (6), ограниченности и утверждения 4 существует такая, что для всех имеет место неравенство .
Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда существуют , такие, что для всех справедлива оценка
Доказательство. В силу леммы 3 и равенства (6):,
из этого следует существование , по норме меньшего единицы такого, что
.
Разрешая последнее уравнение относительно , получаем:
,
поэтому , последнее влечет справедливость леммы.
Далее займемся оценкой нормы разности и . Заметим, что при
,
является реализацией метода Эйлера для уравнения (3) с неточно заданной правой частью.
Отметим, что
(7)
Теперь, для получения окончательного результата требуется оценить и .
Введем вспомогательную систему, которую можно трактовать как метод Эйлера, для решения дифференциального уравнения (3) с точно известной правой частью:
(8)
при и .
Лемма 5. Пусть выполнены условия леммы 3, тогда существуют , такие, что всех и имеет место неравенство:
Доказательство. В силу (3) и (8)
.
Из последнего следует оценка сверху для нормы разности и :
(9)
Рассмотрим . Согласно [1] для симметричной матрицы имеет место представление , где - диагональная матрица с элементами . Поэтому существует такое, что всех тогда
В силу полученной оценки неравенство (9) при , принимает вид:
из которого, с учетом начальных условий для и , по индукции получаем
полагая , приходим к требуемой оценке.
Рассуждения, аналогичные приведенным в лемме 5, с учетом полученного в ней результата, позволяют сформулировать:
Лемма 6. Пусть выполнены условия леммы 3, тогда существуют , , такие, что всех и справедливо неравенство: ,
где , .
Из лемм 5, 6 непосредственно следует:
Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда для всех
.
Следствие 1. Из ограниченности и леммы 7 следует ограниченность на , при этом существует такая, что для всех имеет место:
Лемма 8. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда существуют , , такие, что всех имеет место неравенство .
Доказательство. На основании (7) имеем:
Тогда с учетом следствия 1 из леммы 3, леммы 7, при выборе
,приходим к требуемому результату. Лемма доказана.
На основании лемм 4, 8 справедлива
Теорема (верхняя оценка точности). Пусть выполнены условия леммы 3, , тогда верхняя оценка точности в равномерной метрике на имеет вид
Замечание 1. Оптимизация асимптотического порядка верхней оценки точности реализуется выбором , , , при этом .
Замечание 2. Приближение искомого неизвестного управления из системы (1) будет иметь вид .
Рецензенты:
Короткий А.И, д. физ.-мат. н., профессор, зав. отделом ИММ УрОРАН, г. Екатеринбург,
Ким А.В., д. физ.-мат. н., профессор, руководитель группы ИММ УрОРАН, г. Екатеринбург.
Бичурин Мирза Имамович, д.ф.м.н., профессор, заведующий кафедрой проектирования и технологии радиоаппаратуры, Новгородский государственный университет, г. Великий Новгород.