Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

Тараканов А.Ф., Талагаев Ю.В.

Предложен метод оптимальной параметрической коррекции для исследования дифференциальных уравнений и их систем с неустойчивой динамикой. Теоретической основой метода является принцип оптимальности Лагранжа. Формулируется задача оптимального управления с помощью корректирующих функций. Приводятся теоремы об условиях оптимальности. В случае существенно неустойчивой динамики на динамическую систему накладываются фазовые ограничения, а метод коррекции дополняется процедурой штрафования за их нарушение. Метод апробирован на системах Ван дер Поля, Дуффинга, Дуффинга-Холмса, Матье, Лоренца, Ресслера, связанных осцилляторах.

Пусть имеется неустойчивая по Ляпунову динамическая система, описываемая дифференциальными уравнениями:

,                                                         (1.1)

момент времени  и числа  () заданы, а момент времени  может быть задан произвольно. Требуется перевести систему (1.1) в устойчивое состояние. Такой перевод будем называть коррекцией.

Проведем коррекцию системы (1.1) вектор-функцией , компоненты которой назовём корректирующими функциями. Тогда получаем систему дифференциальных уравнений:

.           (1.2)

Принципиально, что коррекция проводится способом  или  по доступному для этого параметру . При этом разумно требовать, чтобы функции  были оптимальными в смысле минимума затрат энергии на коррекцию:

.                                              (1.3)

Пусть в системе (1.2) фазовые ограничения отсутствуют. Составим функцию Гамильтона ( – вектор-функция сопряжённых переменных):

.

Теорема 1. Если  – оптимальная корректирующая вектор-функция,  – соответствующая траектория, то существуют ненулевые функции , удовлетворяющие уравнениям

,

и выполняются условия стационарности:

.

При наличии фазовых ограничений вида , их учёт может производиться методом штрафных функций. А именно, составляется штрафная функция:

,

где  – коэффициент штрафа, которая добавляется в гамильтониан:

Введем функционал:

Теорема 2. Для любого  решение задачи:

существует, и имеют место равенства:

Теорема 3. Если  – оптимальная корректирующая вектор-функция,  – соответствующая траектория, то существуют ненулевые функции  и значение параметра штрафа , что:

,

и выполняются условия стационарности:

.

Теорема 3 расширяет алгоритм метода оптимальной параметрической коррекции. Оптимальная траектория  находится интегрированием следующих уравнений и подбором :

К задаче (1.2)-(1.3) применима теорема IV (см.: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука 1966, стр. 485), адаптированную формулировку которой мы приводим ниже. Введем функцию ( – функция Ляпунова):

.

Теорема 4. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.2) можно найти допускающую бесконечно малый низший предел определенно-положительную функцию  и вектор-функцию , удовлетворяющие в области  условиям: 1) справедливо равенство ; 2) какова бы ни была функция , справедливо неравенство , то функция  разрешает задачу об оптимальной устойчивости системы (1.1). При этом выполняются равенства

.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ.