Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

OPTIMAL CORRECTION OF UNSTABLE DYNAMICS OF MATHIEU’S EQUATION

Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф.
В работе предложен и численно проверен метод параметрической коррекции для динамических систем с неустойчивой динамикой. В качестве такой системы взято уравнение Матье. С помощью принципа Лагранжа аналитически найдены оптимальные корректирующие функции, позволяющие решать задачу стабилизации неустойчивой динамики.
In the article, a parametrical correction technique for unstable dynamical systems is offered. As the test system, the Mathieu’s equation is given. With the Lagrange Principle, optimal correction functions is analytically obtained.

Стабилизация неустойчивой и хаотической динамики является важной частью общей задачи управления динамическими системами. Значительное продвижение в этой области связано с результатами, полученными в интенсивно развивающейся области – управлении хаосом [1-4].

В настоящей работе возможности оптимальной параметрической коррекции изучены на семействе диссипативных неавтономных систем, описываемых дифференциальным уравнением вида:

                                      (1)

где  – потенциал, определяющий собственную динамику системы,  – гармоническое параметрическое возмущение амплитуды  и частоты  – диссипация. Система (1) описывает параметрически возбуждаемый диссипативный колебательный контур. Вариативность модели связана с видом потенциала, а также показателем степени переменной  в .

Рассмотрим случай , тогда (1) примет вид:

,               (2)

где  – собственная частота колебаний системы без параметрического возмущения. При выполнении условий резонанса , где  – порядок резонанса, возникает параметрическая неустойчивость, приводящая к экспоненциальному нарастанию амплитуды колебаний. Линейное затухание  не стабилизирует параметрическую неустойчивость. Полагая в (2) , приходим к известному в теории параметрических колебаний уравнению Матье [2]:

.                         (3)

На рис. 1(а),(b) для случая основного параметрического резонанса  представлено развитие неустойчивого динамического режима системы (3). Видно, что колебания неограниченно нарастают.

Положим  и введем в (3) корректирующую функцию :

.      (4)

Функция  играет роль управления. Введем фазовое ограничение в виде круга

    (5)

и построим штрафную функцию за его нарушение, где  – штрафной параметр.

Задача оптимального управления имеет вид: требуется удержать систему (4) внутри допустимого множества (5) с наименьшими затратами энергии 

Составим функцию Гамильтона:

,

где  – сопряжённые переменные. Из необходимого условия оптимальности  найдем оптимальную корректирующую функцию:

.                                              (6)

Оптимальная траектория  находится интегрированием следующей системы уравнений и подбором :

где  – вектор начальных условий для сопряжённой системы, ортогональный вектору .

Рисунок 1. Коррекция уравнения Матье (3), :

(a), (b) – неустойчивый режим до коррекции,

(c),(d) – фазовая плоскость режима коррекции,

(e) – график оптимальной корректирующей функции.

 На рис. 1(с),(d) представлены результаты численного моделирования уравнения (3) в условиях основного параметрического резонанса. Они получены с фазовым ограничением (5) при  и параметром штрафа . Оптимальная параметрическая коррекция позволила стабилизировать неустойчивую систему в состоянии равновесия. При соответствующих значениях  стабилизация имеет место для начальных условий, лежащих внутри допустимого множества. Результаты аналогичны и при соотношении частот .

График корректирующей функции  на рис. 1(e) позволяет увидеть особенности коррекции. Вначале фазовая траектория системы находилась внутри фазового ограничения (несколько обходов вокруг начала координат). При этом . Всплеск корректирующего воздействия обусловлен тем, что параметрическая неустойчивость начала выталкивать траекторию за область круга. В результате включился алгоритм учета фазовых ограничений, и система стабилизировалась в нуле.

Рассматривалась также общая скорректированная система вида

.               (7)

На рис. 2 представлен результат общей коррекции с фазовым ограничением в виде единичного круга и параметром штрафа .

Рисунок 2. Общая параметрическая коррекция параметрически возмущенного уравнения Матье (7), :

(a) – зависимость координаты от времени,

(b) – фазовая плоскость режима коррекции,

(с) – оптимальная корректирующая функция.

 Полученная корректирующая функция имеет вид:

.                      (8)

Существенное отличие аналитического выражения (8) от (6) в том, что  зависит как от текущего состояния системы, так и от величины возмущения . Оптимальная коррекция приводит к подавлению неустойчивой динамики и переходу в режим модулированных колебаний. Для соотношения частот  результаты оказались аналогичными.

Возможности метода параметрической коррекции были также апробированы на различных системах, способных демонстрировать неустойчивые и хаотические режимы (нелинейные осцилляторы, уравнение Ван дер Поля и его модификации и др.). Коррекции подвергалась динамика как исходных (автономных) систем, так и систем в присутствии периодического внешнего воздействия. При этом рассматривались варианты хаотизации внешним силовым и параметрическим возмущением. Исследованию также подверглись трехмерные системы Лоренца, Ресслера, Чуа и др., которым при соответствующих значениях параметров свойственно наличие хаотического аттрактора.

Несомненным достоинством предложенного метода является возможность аналитически получить оптимальные корректирующие функции и корректировать поведение объекта в случае возникновения неустойчивого или хаотического поведения.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. //Автоматика и телемеханика. 2003. №5. С.3-45.

2.      Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. – М.: Изд-во физ.-мат. лит, 2002. 292 с.

3.      Лоскутов А.Ю. //Вестник МГУ. 2001. №2. С.3-21.

4.      Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: Принципы и примеры. – СПб.: Наука, 2003. 208с.

** Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ.