Для чего студентам-технарям математические дисциплины? Отчасти для того, чтобы еще лучше развить свое математическое мышление, что будет способствовать более качественному пониманию остальных дисциплин [4]. Еще более для того, чтобы в дальнейшем иметь возможность с помощью математических знаний и методов решать различные прикладные профессиональные задачи [1;2]. Ориентированность математических дисциплин на будущую практическую деятельность – это овладение теми знаниями и умениями, которые необходимы для описания и понимания явлений и процессов с помощью математических методов.
В современных условиях в технических вузах математические знания, полученные студентами на младших курсах, в большинстве случаев довольно абстрагированы от остальных дисциплин. В итоге полученные знания не воспринимаются студентами как фундамент, применимый в будущем к решению профессионально значимых заданий.
Такая проблема существовала в системе высшего образования не всегда. Из исследования И.В. Кокориной следует, что «предпосылки возникновения проблемы оторванности содержания математических дисциплин от задач профессиональной подготовки студентов» возникли в последние годы девятнадцатого века, когда появились ограничения в развитии институтской науки, строгая регламентация организации и характера преподавания [4, стр. 83]. Именно в этот период программы физико-математических факультетов, на которых в основном и изучалась теория вероятностей, стали отличаться широтой охвата, но достаточно малой специализацией.
Студенты уже на первых занятиях по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» должны получить представление об интеграции этого предмета с будущими специальными дисциплинами. С этой целью преподаватель должен в обязательном порядке вводить задания из различных дисциплин профессионального цикла, если не в полном объеме, то частично с указанием этих дисциплин.
В этой связи очень важен коллективный подход преподавателей математических и специальных дисциплин, работающих с одним и тем же направлением подготовки. Такая кооперация позволит создать необходимые пропедевтические задания и успешно решать их еще в рамках теории вероятностей и математической статистики или специального факультатива по прикладным задачам.
Помимо этого, только в ходе совместной деятельности преподавателей выпускающей кафедры и кафедры математических дисциплин возможно создание грамотно составленного и снабженного качественными заданиями методического пособия для студентов, в котором будут отражены все пожелания преподавателей специальных дисциплин. Ведь зачастую, если такого методического пособия нет, то преподаватели на занятиях по теории вероятностей и математической статистике используют универсальный учебник В.Е. Гмурмана [3].
Учебник пережил уже не одно переиздание, содержит достаточное количество теоретического материала и много разнообразных заданий, в том числе и решенных, что позволяет студентам еще лучше разобраться с темой. Но, как ни парадоксально, именно универсальность и является его слабым местом. Ведь он вообще не учитывает специфики различных направлений подготовки и дает лишь общее представление о решении заданий по теории вероятностей и методах статистики. В то время как студентам требуется более углубленное понимание всех разделов дисциплины для дальнейшего их использования на практике.
Данная работа посвящена анализу разделов существующего университетского курса «Теории вероятностей и математической статистики» с точки зрения их дальнейшей применимости в профессиональных дисциплинах, а также предложениям по усовершенствованию этого курса, исходя из актуальности его разделов в дисциплинах профессионального цикла.
Рассмотрим те вопросы теории вероятностей и математической статистики (ТВ и МС) (3 семестр), с которыми сталкиваются бакалавры направления подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» при изучении различных дисциплин (таблица 1).
Таблица 1
Приложение ТВ и МС в различных дисциплинах
|
№ |
Семестр |
Дисциплина |
Раздел ТВ и МС |
Понятия |
|
1 |
2 |
Дискретная математика |
Множества и операции над ними, комбинаторика. |
Сумма, разность, пересечение и объединение множеств; основные формулы комбинаторики. |
|
2 |
3 |
Теория информации (спецглавы) |
Основные понятия теории вероятностей, основы комбинаторики. |
Событие, вероятность, условная вероятность, полная группа событий; теоремы теории вероятностей; виды комбинаций; случайная величина и ее математическое ожидание. |
|
3 |
3 |
Теоретические основы защиты информации |
Первичная статистическая обработка выборок. |
Средства и системы сбора информации, современные методы обработки информации. |
|
4 |
4 |
Метрология и электроизмерения |
Методы расчета сводных характеристик выборки. |
Правило трех сигм; методы обработки результатов измерений. |
|
5 |
4 |
Введение в теорию случайных процессов |
Основные понятия теории вероятностей, элементы комбинаторики,случайные процессы. |
Теорема сложения вероятностей зависимых событий, математическое ожидание и дисперсия случайной величины дискретного типа, закон больших чисел; нормальное,показательное иравномерное распределения; модели случайных процессов и их вероятностные характеристики. |
|
6 |
5,6 |
Криптографические методы защиты информации |
Основные понятия теории вероятностей, первичная статистическая обработка выборок. |
Вероятность, события и их виды;сбор и анализ информации, организация и проведение испытаний. |
|
7 |
5,6 |
Техническая защита информации |
Теория корреляции, первичная статистическая обработка выборок. |
Корреляционные связи, коэффициент корреляции, методы обработки результатов измерений. |
|
8 |
6 |
Защита информации в оптоволоконных локальных сетях |
Дисперсия случайной величины. |
Дисперсия, мода и ее виды. |
|
9 |
6 |
Введение в спектрально-корреляционный анализ случайных процессов |
Теория корреляции, законы распределения случайных величин, статистические средние. |
Корреляционное отношение, виды корреляции, функция корреляции;модели случайных процессов, их вероятностные характеристики, законы распределения и моменты распределения;статистические средние. |
|
10 |
6 |
Мониторинговые системы сбора данных |
Статистические данные, теория корреляции. |
Графики статистических распределений, мода, корреляционное отношение, метод наименьших квадратов. |
|
11 |
6 |
Методы проверки статистических гипотез в обработке информации |
Статистические оценки параметров распределения,математические основы проверки статистических гипотез. |
Статистические функции, графики статистических распределений и их построение в Excel; основные принципы статистических выводов, оценка максимального правдоподобия; плотность распределения, эмпирическая функция распределения; проверка гипотез. |
|
12 |
7 |
Математические основы криптологии |
Основные понятия теории вероятностей, случайные величины и распределения вероятностей, теория статистических решений. |
Вероятность, классическое и статистическое определение вероятности, виды событий, закон полной вероятности; равномерное и биномиальное распределения, закон больших чисел; статистическое тестирование последовательностей, метод максимального правдоподобия. |
|
13 |
7 |
Имитаторы сигналов радиотехнических средств |
Моделирование случайных процессов с заданными корреляционными свойствами. |
Плотность вероятности, нестационарные и стационарные процессы. |
|
|
7 |
Экономика защиты информации |
Основные понятия теории вероятностей, случайные величины, статистическая обработка выборок. |
Вероятность случайного события; математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации случайной величины; статистический способ анализа риска. |
|
14 |
5,6,7,8 |
Научно-исследовательская работа |
Статистическая обработка выборок. |
Сбор, обработка, анализ, оценка и интерпретация результатов исследования. |
|
15 |
8 |
Дипломное проектирование |
Статистическая обработка выборок. |
Сбор, обработка, анализ, оценка и интерпретация результатов исследования. |
Анализ составленной таблицы показывает, что из 38 дисциплин профессионального цикла, изучаемых студентами данного направления, более трети связаны с понятиями из ТВ и МС. Кроме этого, «Дискретная математика» изучается во втором семестре, и для ее усвоения вполне достаточно школьных знаний по ТВ. Параллельно с ТВ и МС изучаются две дисциплины («Теория информации», «Теоретические основы защиты информации»), для понимания которых одних школьных знаний уже мало. Для решения этой проблемы возможен перенос изучения ТВ и МС во второй семестр или смещение указанных дисциплин в следующий семестр.
Проанализируем программу по ТВ и МС на предмет отражения в ней тех разделов, которые применяются в дальнейшем в различных дисциплинах. Программа по ТВ и МС (36 часов лекций и 36 часов практических занятий) включает следующие разделы, представленные в таблице 2.
Таблица 2
Содержание курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
|
№ |
Тема |
Содержание |
|
1 |
Случайные события |
Случайные события, частота и вероятность события, условная вероятность, повторение испытаний, алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Полная вероятность, Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли, формула Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа, производящая функция. |
|
2 |
Случайные величины |
Дискретные и непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики. Гистограмма и полигон распределения вероятностей случайных величин, имеющих различные виды распределений (равномерное, биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, нормальное, показательное). Закон больших чисел, теоремы Бернулли и Чебышева, центральная предельная теорема Ляпунова. Многомерные случайные величины. |
|
3 |
Основы математической статистики |
Статистический ряд, выборочный метод, генеральная совокупность, выборочная совокупность. Статистическое и эмпирическое распределения, точечные оценки параметров распределения, доверительные интервалы для оценок параметров при различных видах распределений. c-распределение, распределение Стьюдента, распределение Фишера. Методы моментов, наибольшего правдоподобия и наименьших квадратов. Критерии согласия. |
|
4 |
Корреляционный анализ |
Основные положения корреляционного анализа, коэффициент корреляции, корреляционное отношение и индекс корреляции. Многомерный корреляционный анализ. Ранговая корреляция. |
|
5 |
Регрессионный анализ |
Двумерные случайные величины. Парная линейная регрессия. Парная нелинейная регрессия. Множественная регрессия. Уравнения регрессии. |
|
6 |
Проверка статистических гипотез |
Общее понятие о статистической проверке гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и альтернативная гипотезы. Критерий и критическая область. Ошибки первого и второго рода. Оптимальный критерий Неймана – Пирсона для различения двух простых гипотез. Функция мощности. Несмещенные критерии. |
Для изучения таких объемных разделов выделено всего 36 часов практики, что, несомненно, недостаточно. Кроме этого, простой обзор таблицы показывает, что не все темы, необходимые при изучении специальных дисциплин, отражены в этой программе. Поэтому предлагается дополнительно внести еще несколько разделов, таких, как:
- Случайные процессы.
- Виды распределений.
- Работа со статистическими функциями в Excel и современные статистические комплексы.
В первом разделе возможно рассмотреть следующие темы: случайные функции и случайные процессы, стационарные случайные процессы, процессы с независимыми значениями и независимыми приращениями, Винеровский и Пуассоновский процессы. Эти темы ни в коем случае не заменят дисциплину «Введение в теорию случайных процессов», осваиваемую в 4 семестре, но послужат пропедевтикой для ее изучения.
Несмотря на то, что распределения включены в раздел «Случайные величины», их стоит изучить более подробно отдельной темой, поскольку приложения этого раздела в профессиональных дисциплинах достаточно весомы. Поэтому во втором разделе необходимо изучить качественно все виды распределений (нормальное, показательное, равномерное, биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое) со всеми их характеристиками и графиками.
В третьем разделе следует ознакомить студентов с современными отечественными и зарубежными статистическими комплексами (SPSS, STATISTICA, STATGRAPHICS и др.). Кроме этого, необходимо рассмотреть классы статистических задач, решаемых данными комплексами обработки данных. Важно, чтобы студенты научились использовать программные пакеты при планировании эксперимента и обработке полученных данных. Таким образом, данный раздел хотя бы частично заместит дисциплину «Программные статистические комплексы», которую, на наш взгляд, должны изучать студенты данного направления подготовки.
Анализ предложенной выше таблицы указывает также на необходимость увеличения курса ТВ и МС на два семестра (примерно 72 часа практических занятий), заканчивающихся экзаменом, что обосновано важными приложениями указанного курса при изучении различных специальных дисциплин на остальных курсах направления подготовки «Информационная безопасность».
Не стоит забывать и о том, что распределение часов по разделам или темам внутри курса также должно учитывать их востребованность при дальнейшем изучении на старших курсах. В связи с этим нам видится следующее разбиение курса ТВ и МС по темам (табл. 3).
Таблица 3
Предлагаемое распределение часов по темам ТВ и МС
|
№ |
Тема |
Количество часов |
|
1 |
Случайные события |
8 |
|
2 |
Случайные величины |
8 |
|
3 |
Виды распределений |
10 |
|
4 |
Случайные процессы |
10 |
|
5 |
Основы математической статистики |
8 |
|
6 |
Корреляционный анализ |
8 |
|
7 |
Регрессионный анализ |
6 |
|
8 |
Проверка статистических гипотез |
6 |
|
9 |
Работа со статистическими функциями в Excel |
8 |
|
|
Итого |
72 |
В итоге, предлагаемое нами качественное и количественное изменение дисциплины приведет к более глубокому пониманию не только всего курса теории вероятностей и математической статистики в целом, но и позволит глубже изучить треть из профессиональных дисциплин направления подготовки «Информационная безопасность».