Рассмотрим периодическую краевую задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной
(1)
где функции и предполагается, что функция непрерывна, функция удовлетворяет условию Каратеодори.
Пусть - пространство непрерывных на отрезке функций, – пространство измеримых ограниченных в существенном на отрезке функций, - пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке функций с нормой
.
Под решением понимается такой элемент пространства , который почти всюду удовлетворяет уравнению и краевому условию задачи (1).
В работе доказывается существование решения задачи (1) в шаре радиуса с центром в точке пространства . С помощью метода явной линеаризации задача (1) сводится к квазилинейной краевой задаче, для доказательства существования решения которой применяется теорема из работы [8].
Будем рассматривать задачу (1) в предположении, что существует такая функция , удовлетворяющая условиям:
- для каждого фиксированного на искомом шаре с центром в точке пространства выполняется неравенство: (данное условие предполагает, что функция должна удовлетворять условию );
- оператор , определенный равенством: ,
является вполне непрерывным оператором.
Некоторые математические модели реальных процессов приводят к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и в частности к задаче (1). Обычно при исследовании нелинейных задач, в том числе и задачи (1), используется явная или неявная линеаризация. В частности, в работах [4; 6; 9] используется редукция нелинейной задачи к некоторой вспомогательной квазилинейной, к которой применяются известные схемы исследования на разрешимость квазилинейных или резонансных краевых задач. К числу методов, использующих неявную линеаризацию нелинейных задач, можно отнести метод Ньютона-Канторовича, метод применения теорем о неявной функции, методы теории нелинейных фредгольмовых операторов. В этом случае нелинейный оператор аппроксимируется своей производной [2; 3; 5; 10].
Как уже было указано ранее, в работе используется первый подход. Отметим, что в отличие от ранее цитируемых работ в настоящей работе предполагается, что нелинейную задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной, можно записать в виде (1) и что существует такая функция , для которой выполняется неравенство . Помимо этого, в работе используется подход, предложенный автором [1] для доказательства разрешимости квазилинейных краевых задач в случае резонанса.
Обозначим через , при этом будем предполагать, что функция на отрезке . Существование такой функции позволяет задачу (1) переписать в виде
(2)
Обозначим через и пространства и соответственно. Тогда задачу (2) можно записать в виде операторного уравнения
(2*)
в пространстве , где операторы , определены равенствами
, ,
где . Отметим, что краевая задача (2) является резонансной, так как оператор не обратим.
Обозначим ядро и образ линейного оператора через и соответственно. Непосредственная проверка показывает, что ядро оператора имеет вид:
.
Оператор является нетеровым оператором. Пространство представимо в виде: , где подпространство . Тогда элемент представим в виде , где и .
Пусть проектор на , определенный равенством , а проектор на , . Тогда соответствующий дополнительный проектор имеет вид , откуда образ оператора :
.
Дадим определение обобщенно обратного оператора [1]: оператор называется обобщенно обратным к линейному оператору , ассоциированным с проектором , если справедливы равенства:
1) для любого ;
2) для любого ;
3) для любого .
Условимся в дальнейшем обобщенно обратный к оператор записывать просто .
Из нетеровости оператора следует, что существует обобщенно обратный к оператор , определяемый по формуле: .
Так как оператор не обратим (), то нужно доказать существование таких множества и непрерывного оператора , что оператор переводит это множество в образ оператора . Для этого применяется теорема о неявном операторе к операторному уравнению:
. (3)
Замечание. Следуя [7, с. 670], будем отождествлять пространства и с согласованными нормами: (то есть , ). Поэтому далее при необходимости прямую топологическую сумму будем рассматривать как прямое произведение с изометричной нормой, при этом значение оператора на элементе будем записывать в виде .
Рассмотрим производную оператора в некоторой точке как оператор вида:
,
тогда оператор можно представить в виде суммы операторов
,
где и .
Для решения вопроса о разрешимости уравнения (2*), а, следовательно, и задачи (1), воспользуемся теоремой из [8].
Теорема 1. Пусть оператор - нетеров, - обобщенно обратный к оператор, произведение вполне непрерывно, оператор непрерывен и имеет частную производную , непрерывную в нуле (в дальнейшем положим ). Пусть далее , оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:
1) ;
2) , ;
3) , ;
4) ;
5) ;
6) , где .
Тогда существует решение уравнения .
Будем проверять условия теоремы 1 для операторного уравнения (2*) последовательно, с приведением требуемых при этом ограничений.
1. Покажем, что оператор является непрерывным. Поскольку функция , а функция представляет разность непрерывной функции и функции , удовлетворяющей условию Каратеодори, то оператор - непрерывен.
2. Перейдем к условию . Запишем уравнение (3) для операторного уравнения (2*), для этого определим вид оператора на элементе :
.
Откуда и, следовательно, уравнение (3) запишется в виде:
.
Согласно теореме 1 должно выполняться условие , с учетом того, что условие предполагает выполнение равенства , получим: .
Тогда, поскольку условие означает, что , получим условие:
.
3. Далее определим вид оператора . Поскольку у оператора элемент содержит только функция , то
,
где означает частную производную функции по второму аргументу, действующую из в . Тогда обратный оператор для оператора имеет вид:
.
Таким образом, оценка его нормы определяется константой:
.
4. Найдем константу из условия , в предположении, что частная производная функции по удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой : :
.
Таким образом, константа , где .
5. Далее найдем константу из условия , в предположении, что функция удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой : , и с учетом условия :
.
Таким образом, константа , где .
6. Найдем теперь оценку нормы , в предположении, что функция удовлетворяет условию: , и с учетом условия :
Таким образом, константы , где .
Замечание. Для доказательства полной непрерывности произведения рассмотрим распространение оператора на пространство , то есть будем считать, что оператор действует из пространства в . Тогда оператор вполне непрерывен, а, следовательно, произведение также вполне непрерывно. Нетрудно показать, что .
Докажем существование решения уравнения на подпространстве , содержащемся в пространстве . Тогда, вследствие непрерывности оператора , правая часть данного уравнения принадлежит и, следовательно, само решение также принадлежит . Это доказывает существование решения исходной задачи (1) в пространстве .
7. Проверим выполнение условия . С учетом и равенства получим следующее условие: .
8. Наконец остается проверить условие , где . Для этого подставим найденные выше константы в левую часть неравенства:
.
Таким образом, объединяя найденные ранее оценки, получим условия разрешимости краевой задачи (1).
Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям Каратеодори и вместе со своей частной производной по удовлетворяют условию Липшица по второму аргументу с константами и для всех , то есть
,
.
Пусть далее непрерывна в точке , , функция непрерывна и существует такая функция , удовлетворяющая условиям:
- для каждого фиксированного на искомом шаре с центром в точке пространства выполняется неравенство: ;
- оператор , определенный равенством: ,
является вполне непрерывным оператором.
Тогда если функция и выполнены условия:
1) ;
2) ;
3)
4) , где , , , , , ,
то существует решение задачи (1) на шаре с радиусом .
Рецензенты:
Абдуллаев А.Р., д.ф.-м.н., профессор кафедры высшей математики Пермского национального исследовательского политехнического университета, г. Пермь.
Аристов С.Н., д.ф.-м.н., старший научный сотрудник, Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, г. Пермь.